Red (matematika)

U matematici, red je često predstavljen kao suma članova niza. To jest, red je predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih, npr. ova aritmetički niz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.

Redovi mogu biti konačni ili beskonačni. Konačni redovi mogu se rješavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.

Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

$\sum _{n=0}^{k}(an+b);$,

te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:

$\sum _{n=0}^{k}a^{n}.$

Historija teorije beskonačnih redova

Fourierov red

Glavni članak: Fourierov red

Za $2\pi$ -periodičnu funkciju $f(x)$ koja nije integrabilna na intervalu $[-\pi ,\pi ]$, brojevi

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx$

i

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx$

se nazivaju Fourierovim koeficijentima od $f$

Beskonačna suma

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]$

je Fourierov red funkcije $f$ na intervalu $[-\pi ,\pi ]$.

Apsolutna konvergencija

Glavni članak: Apsolutna konvergencija

Za red

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

se kaže da konvergira apsolutno ako red apsolutne vrijednosti

$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$

konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako su a_n realni i ako je S bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom S.

Neke vrste beskonačnih redova

• Geometrijski red je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

Općenito, geomtrijski red

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

konvergira ako i samo ako |z| < 1.

• Harmonijski red je red

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

Harmonijski red je divergentan.

• Alternativni red je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.$

• Red

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}$

konvergira ako je r > 1, a divergira ako za r ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.

• Teleskopski red

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

konvergira ako niz b_n konvergira u limes L kada n teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tada b₁ − L.

Testovi konvergencije

Glavni članak: Testovi konvergencije

• Test poređenja 1: Ako je ∑b_n  apsolutno konvergentan red takav da je |a_n | ≤ C |b_n | za neki broj C  i za dovoljno veliki broj n , tada i red ∑a_n  konvergira apsolutno. Ako red ∑|b_n | divergira, a |a_n | ≥ |b_n | za svaki dovoljno velik n , tada red ∑a_n  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu a_n  promijeni znak).
• Test poređenja 2: Ako je ∑b_n  apsolutno konvergentan red takav da |a_n+1 /a_n | ≤ |b_n+1 /b_n | za dovoljno veliki n , tada i red ∑a_n  konvergira apsolutno. ako red ∑|b_n | divergira, a |a_n+1 /a_n | ≥ |b_n+1 /b_n | za sve dovoljno velike n , tada red ∑a_n  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu a_n  promijeni znak).
• D'Alambertov test: Ako se odnos |a_n+1/a_n| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ a_n konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
• Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta C < 1 takva da je |a_n|^1/n ≤ C za svedovoljno velike n, tada red ∑ a_n konvergira apsolutno.
• Cauchyjev integralni test: Ako je f(x) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu [1, ∞) sa f(n) = a_n za sve n, tada red ∑ a_n konvergira ako i samo ako postoji integral ∫₁^∞ f(x) dx.
• Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)ⁿ a_n (sa a_n ≥ 0) naziva se alternativni red. Takvi redovi konvergiraju ako je niz a_n monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
• Potreban uslov konvergencije reda: Ako je lim_n→∞ a _n ≠ 0, tada red divergira.
• Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.

Potencijalni red

Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.Na primjer, red

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

konvergira u $e^{x}$ za sve x. Također pogledajte članak radijus konvergencije.

Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

Dirichletov red

Glavni članak: Dirichletov red

Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},$

gdje je s kompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od s veći od broja koji se naziva apscisa konvergencije.

Također pogledajte

• Konvergentni redovi
• Divergentni redovi
• Transformacije niza
• Beskonačni proizvod
• Neprekidni razlomak
• Spisak matematičkih redova

Reference

• Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

Vanjski linkovi

• Graphical simulation of series convergence
• Many example problems on series, with solutions Arhivirano 6. 11. 2008. na Wayback Machine