Cauchyjev integralni test konvergencije

U matematici, Cauchyjev integralni test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranje konvergencije kod beskonačnih redova koji imaju nenegativne članove. Ranu verziju testa konvergencije razvio je indijski matematičar Madhava u 14. vijeku, u pomoć svojih kolega iz škole Kerala. U Evropi je kasnije razrađen od strane Maclaurina i Cauchyja, te je poznat pod nazivom Maclaurin–Cauchyjev test (ili samo Cauchyjev integralni test).

Iskaz testaUredi

Uzmimo cijeli broj N i nenegativnu monotono opadajuću funkciju f definisanu na neograničenom intervalu [N, ∞). Tada red

 

konvergira ako i samo ako integral

 

ima određeno rješenje. To znači, ako integal divergira, divergira i dati red.

DokazUredi

U dokazu se koristi test poređenja, gdje se poredi član f(n) sa integralom od f preko intervala [n − 1, n] i [n, n + 1], respektivno.

Pošto je f monotono opadajuća funkcija, znamo da je

 

i

 

odakle vrijedi, za svaki n veći od N

 

Pošto prethodna procjena važi i za f(N), dobijamo sumiranjem preko cijelog n, od N do nekog većeg cijelog broja M

 

Kada pustimo da M teži u beskonačnost, dobijamo razultat.

PrimjeneUredi

Hermonijski red

 

divergira zato što, koristeći prirodni logaritam, njegovu derivaciju, te fundamentalni teorem kalkulusa, dobijamo

 

Suprotno, red

 

(uporedite sa Riemannovom zeta funkcijom) konvergira za svaki ε > 0, pošto je

 

Granica između konvergencije i divergencijeUredi

Prethodni primjeri koji uključuju harmonijske redove, postavljuju pitanje da li potoje monotoni nizovi takvi da f(n) opada do 0 brže od 1/n, ali sporije od 1/n1+ε, u smislu da

 

za svaki ε > 0, te da li odgovarajući redovi funkcije f(n) još uvijek, u tom slulčaju, divergiraju. Kada se takav niz pronađe, slično pitanje može se postaviti u slačaju da f(n) uzme ulogu 1/n, i tako dalje. Na ovaj način moguće je istražiti granicu između divergencije i konvergencije.

Koristeći integralni test konvergencije, može se pokazati (pogledajte ispod) d, za svaki prirodan broj k, red

 

još uvijek divergira (uporedite sa dokazom da suma recipročnih prostih brojeva divergira za k = 1), ali

 

konvergira za svaki ε > 0. Ovdje lnk označava k-tu kompoziciju funkcija prirodnog logaritma definisanog rekurzivno sa

 

Nadalje, Nk označava najmanji prirodni broj takav da je k-ta kompozocija dobro definisana i lnk Nk ≥ 1, npr.

 

koristeći tetraciju ili Knuthovu notaciju.

Kako bi smo vidjeli divergenciju prvog reda koristeći integralni test, zapazite da ponavljanom primjenom pravila derivacije složene funkcije

 

odakle vrijedi

 

Da bi smo vidjeli konvergenciju drugog reda, zapazite da sa primjenom pravila o derivaciji stepena, pravila o derivaciji složene funkcije i rezultata iznad dobijamo

 

odakle vrijedi

 

ReferenceUredi

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3