Aritmetička progresija

U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.

Ako je prvi član aritmetičke progresije , a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:

a općenitija forma je:

PrimjeriUredi

  • Među aritmetičkim progresijama najpoznatiji je niz prirodnih brojeva:  
  • Niz parnih brojeva  
  • Niz neparnih brojeva  

Aritmetička progresija jednoznačno je određena svojim početnim članom i razlikom.

Ako je početni član 7, a razlika 3, onda je riječ o aritmetičkooj progresiji  

  • Niz kvadrata prirodnih brojeva   tj. niz   nije aritmetička progresija

Tu su razlike među susjednim članovima redom  . Razlike čine aritmetičku progresiju.

Već smo spomenuli da niz prirodnih brojeva čine dva niza:

  • niz parnih brojeva i
  • niz neparnih brojeva.

Često nulu uvrštavamo u prirodne brojeva, tako da je niz parnih brojeva  , što se kraće može zapisati formulom  , a niz parnih brojeva oznakom  , a sa   niz neparnih brojeva.

Parni brojevi su oni koji su djeljivi brojem 2, a neparni oni koji pri dijeljenju brojem 2 imaju ostatak 1.

Slično bismo mogli gledati podjelu s obzirom na djeljivost brojem 4, gdje ostaci mogu biti 0 (djeljivost brojem 4), 1, 2 ili 3.

(0) Djeljivi brojem 4:   Zapis  

(I) Ostatak 1 pri dijeljenju brojem 4:   Zapis  

(II) Ostatak 2 pri dijeljenju brojem:   Zapis  

(III) Ostatak 3 pri dijeljenju brojem:   Zapis  

Nizovi (0), (I), (II) i (III) su potpuno različiti, tj. nikoja dva nemaju zajedničkih članova, a ukupno čine skup svih prirodnih brojeva (uključujući i 0). Svaki od njih odgovara jednom od ostataka pri dijeljenju brojem 4, tj. brojevima 0, 1, 2 i 3.

Ti se nizovi mogu zapisati kao:  ,  ,  ,   za  

Kvadrati u aritmetičkoj progresijiUredi

Razmotrimo nekoliko prvih članova niza   za  :

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...

Posebno smo istaknuli kvadrate:  

Razmaci među kvadratima povećavaju su, tj. kvadrati su sve rjeđi. Možemo postaviti pitanje ima li u ovom nizu konačno ili beskonačno mnogo kvadrata prirodnih brojeva.

Razmotrimo nekoliko članova niza   2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47

Izgleda da u tom nizu nema kvadrata prirodnih brojeva.

Slično je i s nizom   3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...

Niz   sličan je nizu  :

4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144, 149, 154, 159, 164, 169, 174, 179, 184, 189, 194, 199, 204, 209... dok je niz  } vrlo jasan: 0, 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110...

Odnosno   je kvadrat cijelog broja ako i samo ako je n oblika   za  

To uočavamo iz  . Time smo dokazali ne samo to da niz   ima beskonačno mnogo kvadrata, već i to da su ti kvadrati oblika  .

Nizovi  } i  } ne sadrže niti jedan kvadrat. Za to je dovoljno uočiti sljedeće jednakosti:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Izrečeno drugim riječima:

  • ako je broj djeljiv brojem 5, i njegov kvadrat je djeljiv brojem 5,
  • ako broj ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5,
  • ako broj ima ostatak 2 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
  • ako broj ima ostatak 3 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
  • ako broj ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5.

U nizu   ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika   je kvadrat ako i samo ako je oblika   ili  

Prvi oblik imaju   itd., dok drugi imaju   itd. i oni se dobiju ako u gornje izraze uvrstimo redom   Lako se provjeri da ovi kvadrati zaista imaju ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5. Ako želimo neki veliki broj koji je kvadrat i ujedno pri dijeljenju brojem 5 ima ostatak 1, u neki od gornjih izraza uvrstimo velik k, primjerice k = 100. Iz prvog izraza dobijemo  , a iz drugoga  .

U nizu   ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika   je kvadrat ako i samo ako je oblika   ili    

Vrijedi i uopšteno

Ako aritmetička progresija  } ,   sadrži barem jedan kvadrat, onda on sadrži beskonačno mnogo kvadrata. Jedna progresija kvadrata u tom nizu je oblika  , gdje je   jedan kvadrat što ga taj niz sadrži i  

 

Ako u nju uvrstimo  , dobit ćemo

 

Zato, ako je   za neki r (tj. ako progresija  } sadrži neki kvadrat), onda je   što je, opet, član niza {dn + b}. To vrijedi za sve k = 0, 1, 2, 3... pa niz {dn + b} ima beskonačno mnogo kvadrata.

Kubovi u aritmetičkoj progresijiUredi

Posmatrajmo progresiju   i istaknimo kubove prirodnih brojeva u njemu: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...

U popisu ima samo jedan kub, broj 1, što ne znači da u tom nizu nema više kubova. Ako vrijedi tvrdnja analogna onoj za kvadrate, trebalo bi ih biti beskonačno mnogo. Pokušajmo odrediti analognu formulu, i to za svaku razliku, a ne samo za  .

Formula za kub zbira je

 

Smjenon

  i  

dobijemo  , što je, oblika   za svako k, pa niz   sadrži beskonačno mnogo kubova.

U našem slučaju je   pa je formula za kubove   za   dobijamo  , što već imamo, za   dobivamo  , za   dobijamo   itd.

Brojevi   su kubovi u progresiji  

Uopšteno važi

Ako aritmetička progresija   za   sadrži barem jedan kub, onda on sadrži beskonačno mnogo kubova. Jedan niz kubova u toj progresiji oblika  , gdje je   jedan kub što ga ta progresija sadrži i  

Potencije u aritmetičkioj progresijiUredi

Ako aritmetička progresija   za  ,   sadrži barem jednu s-tu potenciju, onda on sadrži beskonačno mnogo s-tih potencija. Jedna progresija s-tih potencija u toj progresiji je oblika  , gdje je   jedna s-ta potencija što ga ta progresija sadrži i  

Ova tvrdnja proizlazi iz formule za binomne formule.

Mi ćemo je izvesti iz formula za razliku potencija koje se mogu provjeriti direktnim računanjem.

 

 

 

uopšteno

 

Za   za neki  , tj. ako progresija   sadrži s-tu potenciju, stavljajući to u jednakost (*) dobijemo  , što je oblika  , pa je s-ta potencija   član progresije   za svaki   Tako dobijemo beskonačno mnogo s-tih potencija u nizu  . tome nizu.

Suma (aritmetičkog reda)Uredi

Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.

Posmatrajmo zbir   prvih 5 članova aritmetičkog niza.

Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju ( ) zbirom prvog i poslednjeg člana niza ( ), i deljenjem sa

 

U našem slučaju, dobijamo jednačinu:

 

Formula važi za bilo koje realne brojeve   i  .

Na primer:

 

Formula (za aritmetički red)Uredi

Izrazimo artimetički red na dva različita načina:

 

 

Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:

 

Sređivajući i uzimajući u obzir da je  , dobijamo:

 

ili

za niz

 

opšti član niza je

 

Neka su data dva različita člana niza

 

 

njihova razlika je

 

Primjeri

Zbir prvih n prirodnih brojeva

 .

Zbir prvih n kvadrata prirodnih brojeva

 .

Izvođenje formuleUredi

Napišino formulu aritmetičke progresije na dva načina

 

 

i saberimo ih.

 

 

Smjenom  :

  dobijamo

Dodatno, glavna vrednost niza može biti izračunata pomoću: {\displaystyle S_{n}/n} {\displaystyle S_{n}/n}:

 

499. godine AD Ariabata, istaknuti matematičar-astronom iz klasičnog doba indijske matematike i indijske astronomije, je dao ovaj metod u Ariabatiji (odeljak 2.18).

ProizvodUredi

Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom  , razlikom između člaova  ,te   elemenata u totalu, je određen izrazom

 

gdje   označava Pochhammerov simbol, a   označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je   negativan cijeli broj ili kada je nula).

Ovo je generalizacija iz činjenice da je proizvod progresije   dat preko faktorijela  , te da je proizvod

 

za prirodne brojeve   i   dat sa

 

Proizvod članova aritmetičke progresije dat kao   do 50-og člana je

 

PresjekUredi

Presjek bilo koje dvije duple beskonačne aritmetiče progresije je prazan ili druga aritmetička progresija. Ona se može pronaći korištenjem teoreme kineski podsjetnik. Ako svake dvije progresije u porodici ili duple aritmetičke progresije imaju ne-prazan presjek, onda postoji broj zajednički za sve njih; to je beskonačna aritmetička progresija iz Heli porodice. Međutim, presjek beskonačno mnogo beskonačnih aritmetičkih progresija može biti jedan broj, prije nego sama beskonačna progresija.

Standardna devijacijaUredi

Standardna devijacija bilo koje formule aritmetičke progresije može ae izračunati formulom:

 

gde je   broj članova u progresiji, a   međusobna razlika između članova

Konvergencija aritmetičke progresijeUredi

Za aritmetičku progresiju  , važi

 

FormuleUredi

Ako je

  prvi član aritmetičke progresije.

  n-ti član aritmetičke progresije.

  razlika između članova aritmetičke progresije.

  broj članova aritmetičke progresije.

  zbir n članova aritmetičke progresije.

  srednja vrednost aritmetičkog niza.

onda je

1.  
2.  
3.  
4.  
5.   =  
6.  

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. str. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.

IzvorUredi

Potencije u aritmetičkim nizovima/Anđelko Marić, Sinj i Ivica Gusić, Zagreb/Matka 23 (2014/2015)br 92

Vanjski linkoviUredi