Taylorov red

U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

DefinicijaUredi

Taylorov red za neku neprekidnu funkciju   sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku   jeste definiran ovako:

 
 

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:

 

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:

 

gdje je   gradijent, a   Hesseova matrica.

PrimjeriUredi

Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)−1 je geometrijski red

 

tako da Taylorov red za x−1 u a = 1

 

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

 

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

 

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju   u   je

 

Gornji izraz važi zato što je derivacija od ex također ex, a e0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

KonvergentnostUredi

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve  . U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak,  , konvergira prema 0.

Kada je   sama potencijalni red oko tačke  , onda je Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcijaUredi

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
 
Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.
 
Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.
 
Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente  .

Eksponencijalna funkcija:

 

Prirodni logaritam:

 
 

Konačan geometrijski red:

 

Beskonačan geometrijski red:

 

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

 
 

Kvadratni korijen:

 

Binemni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

 

sa općenitim binomnim koeficijentima

 

Trigonometrijske funkcije:

 
 
 
gdje je B Bernoullijev broj.
 
 
 

Hiperbolička funkcija:

 
 
 
 
 

Lambertova W funkcija:

 

Brojevi Bk, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. Ek u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajteUredi

Vanjski linkoviUredi