Taylorov red
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Sintay.svg/220px-Sintay.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Exp_series.gif/220px-Exp_series.gif)
Definicija
urediTaylorov red za neku neprekidnu funkciju sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku jeste definiran ovako:
Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:
U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:
gdje je gradijent, a Hesseova matrica.
Primjeri
urediMaclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.
Maclaurinov red za (1 − x)−1 je geometrijski red
tako da Taylorov red za x−1 u a = 1
Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1 − x), gdje log označava prirodni logaritam:
a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je
Taylorov red za eksponencijalnu funkciju u je
Gornji izraz važi zato što je derivacija od ex također ex, a e0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.
Konvergentnost
urediTaylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve . U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, , konvergira prema 0.
Kada je sama potencijalni red oko tačke , onda je Taylorov red identičan sa njim.
Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija
uredi- Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente .
Konačan geometrijski red:
Beskonačan geometrijski red:
Varijante beskonačnih geometrijskih redova:
Binomni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):
sa općenitim binomnim koeficijentima
- gdje je B Bernoullijev broj.
Brojevi Bk, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. Ek u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.
Također pogledajte
urediVanjski linkovi
uredi- Taylorov red na Wikimedia Commonsu