Taylorov red

Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

DefinicijaUredi

Taylorov red za neku neprekidnu funkciju   sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku   jeste definiran ovako:

 
 

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:

 

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:

 

gdje je   gradijent, a   Hesseova matrica.

PrimjeriUredi

Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)−1 je geometrijski red

 

tako da Taylorov red za x−1 u a = 1

 

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

 

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

 

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju   u   je

 

Gornji izraz važi zato što je derivacija od ex također ex, a e0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

KonvergentnostUredi

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve  . U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak,  , konvergira prema 0.

Kada je   sama potencijalni red oko tačke  , onda je Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcijaUredi

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
 
Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.
 
Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.
 
Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente  .

Eksponencijalna funkcija:

 

Prirodni logaritam:

 
 

Konačan geometrijski red:

 

Beskonačan geometrijski red:

 

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

 
 

Kvadratni korijen:

 

Binemni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

 

sa općenitim binomnim koeficijentima

 

Trigonometrijske funkcije:

 
 
 
gdje je B Bernoullijev broj.
 
 
 

Hiperbolička funkcija:

 
 
 
 
 

Lambertova W funkcija:

 

Brojevi Bk, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. Ek u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajteUredi

Vanjski linkoviUredi