Apsolutna vrijednost

Grafik apsolutne vrijednosti funkcije za realne brojeve.
Apsolutna vrijednost broja može se smatrati udaljenosti od nule.

U matematici, apsolutna vrijednost je njegova brojna vrijednost i pri tom se ne uzima predznak broja .

Apsolutna vrijednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sačinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x<0; |x|=x ako je $x>-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.

Primjer

Brojevi 3 i -3 imaju istu apsolutnu vrijednost 3 .

DefinicijaUredi

za bilo koji realan broj a apsolutna vrijednost |a| je jednaka broju a a ako je a ≥ 0, i −a ako je a < 0.  [1] apsolutna vrijednost uvijek je pozitivna tako |a| ne može biti manja od nule ili 0

Apsolutna vrijednost se može uzeti kao udaljenost datog broja od 0 na brojnoj osi.

OsobineUredi

Apsolutna vrijednost broja a ima osobine :

  1. |a| ≥ 0
  2. |a| = 0 akko a = 0.
  3. |ab| = |a||b|
  4. |a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
  5. |a+b| ≤ |a| + |b| ( nejednakost trougla )
  6. |ab| ≥ ||a| − |b||
  7.  
  8. |a| ≤ b akko −bab
  9. |a| ≥ b akko a ≤ −b ili ba

iz navedenog imamo :

|x − 3| ≤ 9
−9 ≤ x−3 ≤ 9
−6 ≤ x ≤ 12

Kompleksni brojeviUredi

 
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z. Na slici sr vidi da z i njegov kompleksno konjugirani z imaju istu apsolutnu vrijednost.

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja takođe se naziva i modul kompleksnog broja.

Za   data je kao  , (   konjugovana vrijednost broja  .

Kako je   za  , imamo

 .[2]

Kada je kompleksni broj izražen u polarnom obliku.

 

Za   i   realno je

 .

 

 .

Odnos prema funkciji znakaUredi

 

ili

 

za  

 

DiferencijalUredi

Apsolutna funkcija realne vrijednosti ima izvod za svaki  , ali nije diferencijabilna na  .

 

IntegralUredi

 

UdaljenostUredi

Euklidska udaljenost između dvije tačke   i   je

 

 

Ako su zadane tačke   i  imamo

   
 
 

Prava vrijednost funkcije   na skupu X × X naziva se vrijednost (ili funkcija udaljenosti) na X, ako zadovoljava sljedeće četiri aksiome:

 
 
 
 

Apsolutna vrijednost vektoraUredi

Apsolutna vrijednost vektora   u Euklidskom prostoru   data je kao

 .

  se može smatrati dužinom vektora  .

IzvoriUredi

  1. Absolute value
  2. absolute value
  3. Absolute Value

Također pogledajteUredi

ZabilješkeUredi

ReferenceUredi

Vanjski linkoviUredi