Apsolutna konvergencija

U matematici, za red (ili ponekad i integral) brojeva se kaže da konvergira apsolutno ako je zbir (ili integral) apsolutne vrijednosti sabirka ili integranda konačan.

Tačnije, za red realane ili kompleksne vrijednosti $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ kaže se da konvergira apsolutno ako vrijedi $\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty .$

Apsolutna konvergencija je od vitalne važnosti za proučavanje beskonačnih redova, jer je, s jedne strane, dovoljno jaka da se zadrže određene osnovne osobine konačnih suma - najvažnije su premještanje članova i konvergencija proizvoda od dva beskonačna reda - koje, nažalost, ne posjeduju svi konvergentni redovi. S druge strane, apsolutna konvergencija je dovoljno slaba da često pojavi u praksi. Doista, u nekim (iako ne u svim) granama matematike u kojima se primjenjuju redovi, postojanje konvergentnog, ali ne i apsolutno konvergentnog niza je nešto više od znatiželje.

Općenitija postavka za apsolutnu konvergenciju

Može se proučavati konvergencija reda $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ čiju su članovi $a_{n}$ elementi proizvoljnog topološke abelovske grupe. Pojam apsolutne konvergencije zahtijeva više strukture, odnosno normi:

Norma za abelovsku grupu G (napisano dodatno, s elementom identiteta 0) je funkcija realne vrijednosti $x\mapsto \|x\|$ na G, tako da je:

Norma elementa identiteta G je nula: $\|0\|=0.$
Norma elementa neidentiteta bilo kojeg elementa je strogo pozitivna: $0\neq x\implies \|x\|>0.$
Za svakix u G, $\|x\|=\|-x\|.$
Za svakix, y u G, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Tada funkcija $d(x,y)=\|x-y\|$ indukuje naG strukturu metričkog prostora (i posebno, topologiju). Možemo stoga razmotriti red G vrijednosti i definisati takav red da bude apsolutno konvergentan ako je $\sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .$

Odnosi s konvergencijom

Ako je metrik d na G je potpun, onda svaki apsolutno konvergentan red je konvergentan. Dokaz je isti kao i za redove kompleksne vrijednosti: iskoristimo potpunost za dobijanje Cauchyjevog kriterija konvergencije - red je konvergentan ako i samo ako se njegov kraj može učiniti proizvoljno malim u normi - te primjenjujući nejednakost trougla.

Konkretno, za redove sa vrijednostima u bilo kojem Banachovom prostoru, apsolutna konvergencija podrazumijeva konvergenciju. Obrnuto je, također, tačno: ako apsolutna konvergencija podrazumijeva konvergenciju u normiranom prostoru, onda je prostor potpun, tj. Banachov prostor.

Tačno je da red može biti konvergentan, a da nije apsolutno konvergentan, gdje je standardni primjer alternativni harmonijski red. Međutim, mnogi standardni testovi koji pokazuju da je red konvergentan, u stvari pokazuju apsolutnu konvergenciju, posebno omjeri općih članovi i korjeni testovi. Ovo je važna posljedica koja govori da su potencijalni redovi apsolutno konvergentni unutar svoje oblasti konvergencije (radijus konvergencije).

Standardno je na predavanjima iz kalkulusa da je realni red, koji je konvergentan, ali ne i apsolutno konvergentan, uslovno konvergentan. Međutim, u općenitijem kontekstu redova G vrijednosti, postoji razlika između apsolutne i bezuslovne konvergencije, a tvrdnja da je realni ili kompleksni red, koji nije apsolutno konvergentan, nužno uslovno konvergentan (tj. ne bezuslovno konvergentan) je onda teorem, a ne definicija. Ovo je detaljnije objašnjeno u nastavku.

Preraspodjela i bezuslovna konvergencija

Za dati red $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ s vrijednostima u normiranoj abelovskoj grupi G i permutacija $\sigma$ prirodnih brojeva, moguće je napraviti nove redove $\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}$ , takve da oni budu preraspodjela originalnog reda. Za red se kaže da je bezuslovno konvergentan ako su sve preraspodjele reda konvergentne za istu vrijednost.

Kada je G potpuna, apsolutna konvergencija podrazumijeva bezuslovnu konvergenciju. (Opet, dokaz zahtijeva više od primjene Cauchyjevog kriterija, a zatim nejednakosti trouglova).

Problem da li važi obrnuto mnogo je interesantniji. Za realne redove slijedi, iz Riemannovog teorema preuređivanje, da bezuslovna konvergencija implicira apsolutnu konvergenciju. Pošto je red, sa vrijednostima u konačno dimenzijalnom normiranom prostoru, apsolutno konvergentan ako i samo ako svaka od njegovih jednodimenzionalnih projekcija apsolutno konvergentna, lagano se uočava da se apsolutna i bezuslovna konvergencija poklapaju za redove $\mathbb {R} ^{n}$ vrijednosti.

Međutim, postoji i bezuslovno i neapsolutno konvergentni redovi s vrijednostima u Hilbertovom prostoru $\ell ^{2}$ : ako je $\{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ortonormalna baza, za, recimo, $a_{n}={\frac {1}{n}}e_{n}$ .

Izvanredno, Dvoretzky-Rogersov teorem tvrdi da je svaki beskonačno-dimenzionalan Banachov prostor priznaje bezuslovno, ali neapsolutno konvergentne redove.

Proizvodi redova

Cauchyjev proizvod dva reda konvergira u proizvod suma, ako barem jedan od redova konvergira apsolutno. To je, recimo:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A

\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.

Cauchyjev proizvod definisan je kao zbir uslova $c_{n}$ gdje je:

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.

Zatim, ako ili suma $a_{n}$ ili suma $b_{n}$ konvergira apsolutno, tada je

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.

Apsolutna konvergencija integrala

Za integral $\int _{A}f(x)\,dx$ funkcije realne ili kompleksne vrijednosti se kaže da konvergira apsolutno ako vrijedi $\int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .$ Također se može reći da je $f$ apsolutno integrabilna.

Kada je $A=[a,b]$ zatvoreni ograničeni interval, svaka neprekidna funkcija je integrabilna, a pošto je $f$ neprekidna, to implicira da je $|f|$ neprekidna, te slično ovome pokazujemo da je svaka neprekidna funkcija apsolutno integrabilna. U općem slučaju, nije istina da su apsolutno integrabilne funkcije na $[a,b]$ integrabilne: neka $S\subset [a,b]$ bude nemjerljivi podskup i neka je $f=\chi _{S}-{\frac {1}{2}}$ , gdje je $\chi _{S}$ karakteristična funkcija od S. Tada $f$ nije Lebesgue mjerljiva, ali je |f| konstantna. Međutim, to je standardni rezultat da ako je f Riemann integrabilna, onda je i |f|. To vrijedi i za Lebesgueov integral, pogledajte ispod. S druge strane, funkcija f može biti Kurzweil-Henstock integrabilna, dok |f| nije. Ovo uključuje slučaj nepravilnosti Riemann integrabilnih funkcija.

Slično tome, kad je interval beskonačne dužine dobro je poznato da postoje nepravilne Riemann integrabilne funkcije f koje nisu apsolutno integrabilne. Doista, za bilo koji red $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ može se razmatrati i stepena funkcija $f_{a}:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ definisan sa $f_{a}([n,n+1))=a_{n}$ . Tada $\int _{0}^{\infty }f_{a}dx$ konvergira apsolutno, konvergira uslovno ili divergira prema odgovarajućem ponašanju reda $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

Drugi primjer konvergentnog, ali ne apsolutno konvergentanog nepravog Riemann integrala, je $\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin x}{x}}dx$ .

Za svaku mjeru prostora A Lebesgueov integral funkcija realne vrijednosti definisan je u pogledu svojih pozitivnih i negativnih dijelova, tako da činjenice:

F integrabilna implicira |f| integrabilna
F mjerljiva, |f| integrabilna, implicira f integrabilna

su, u suštini, ugrađene u definiciju Lebesgueovog integrala. Pojedinačno, primjenom teorije prebrojavanja mjera na skup S, jedan oporavlja pojma neuređen sabiranje serije developed by Moore-Smith koristi (što su sada zove) mrežama. Kada je $S=\mathbb {N}$ skup prirodnih brojeva, Lebesgueova integrabilnost, i neuređena sumabilnost i apsolutna konvergencija se poklopaju.

Konačno, sve gore navedeno vrijedi za integrale s vrijednostima u Banachovom prostoru. Definicija Riemannovog integrala banachove vrijednosti je očito modifikacija uobičajene definicije. Za Lebesgueov integral mora se "prevariti" razgradnja na pozitivne i negativne dijelove sa Daniellovim funkcionalnijim analitičkim pristupom, gdje se dobija Bochnerov integral.

Također pogledajte

Reference

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).