Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabirati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovce u snu (sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi).

3 + 2 = 5 sa jabukama, popularnim primjerom u školama[1]

Matematički sabiranje je predstavljamo znakom plus +, npr. :. Brojeve koje sabiremo nazivamo pribrojnici.

Sabiranje je komutativno, što znači da je : , tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat sabiranja se neće promijeniti.

Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi :

Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

što znači da sabiramo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbir članova Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina, bez brojeva ne bi bilo matematike.

Notacija i terminologija

uredi
 
Znak plus

Sabiranje se zapisuje korištenjem znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru, to jest, u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti. Na primjer,

  (verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")
  (verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")
  (pogledajte "asocijativnost" ispod)
  (pogledajte "množenje" ispod)

Osobine

uredi

Komutativnost

uredi
 
4 + 2 = 2 + 4 sa blokovima

Sabiranje je komutativno, što znači da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromijenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi

 

Asocijativnost

uredi
 
2+(1+3) = (2+1)+3 sa segnetntovanim štapovima

Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova sume. Da li bi izraz

 

trebao biti definisan kao

  ili : 

Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je

 

Na primjer

  .

Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao što je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.

Neutralni elemenat

uredi

Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom   i zove „nula“:

 

Inverzni elemenat

uredi

Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja naziva se njegovim inverznim elementom:

 

Uopćeno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definirano.

Naprimjer

sabiranje nad skupom cijelih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.

Tablica sabiranja

uredi
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Napomene

uredi
  1. ^ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."

Reference

uredi
Historija
  • Bunt, Jones, and Bedient (1976). The historical roots of elementary mathematics. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389015-5.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
  • Ferreirós, José (1999). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Birkhäuser. ISBN 0-8176-5749-5.
  • Kaplan, Robert (2000). The nothing that is: A natural history of zero. Oxford UP. ISBN 0-19-512842-7.
  • Karpinski, Louis (1925). The history of arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
  • Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English. MAA. ISBN 0-88385-511-9.
  • Williams, Michael (1985). A history of computing technology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389917-9.
Elementarna matematika
Obrazovanje
Spoznajna nauka
  • Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills. str. 75. ISBN 0-8058-3155-X. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)
  • Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X.
  • Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective. str. 60. ISBN 0-89859-171-6. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)
  • Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills. str. 3. ISBN 0-86377-816-X. Upotreblja se zastarjeli parametar |booktitle= (pomoć)
Matematička ekspozicija
Napredna matematika
Matematičko istraživanje
Računarstvo