Cauchyjev korjeni test

U matematici, Cauchyjev korjeni test je test (kriterij) za određivanje konvergencije (test konvergencije) beskonačnih redova

Posebno je koristan kod potencijalnih redova.

TestUredi

Korjeni test prvi je razvio Augustin Louis Cauchy, po kome je test i nazvan. Korjeni test koristi broj

 

gdje "lim sup" označava limes superiot, sa mogućnom vrijednost od ∞.

Korjeni test kaže da:

(Ako je C = 1, test je neodlučan. Postoje neki redovi kod kojih za C = 1 red konvergira, npr.  , ali postoje i redvi koji za C = 1 adivergiraju, npr.  .)

Primjena kod potencijalnih redovaUredi

Ovaj test se može primijenjivati kod potencijalnih redova

 

gdje su koeficijenti cn i centar p kompleksni brojsevi, a argument z je kompleksna varijabla.

Članovi reda bi tada biti dati kao an = cn(zp)n. Tada se primijeni korjeni test na an, kao što je pokazano na početku članka. Važno je primijetiti da se red kao što je ovaj ponekad naziva potencijalni red "oko p", jer je radijus konvergencije je radijus R najvećeg intervala ili diska centriranog u p tako da red konvergira za sve tačke z striktno unutar granica intervala (konvergencija na granicama intervalaili diska mora seprovjeriti odvojeno). Korolarija teoreme korjenog testa primijenjenog na ovakav potencijalni red je da je radijus konvergencije tačno  .

DokazUredi

Dokaz konvergentnosti reda Σan je primjena testa poređenja. Ako za sve nN (N neki fiskan prirodni broj) imamo   tada je   Pošto geometrijski red   konvergira, konvergira i red  , prema testu poređenja. Apsolutna konvergencija u slučaju nepozitivnog an može se dokazati na potpuno isti način koristeći  

Ako vrijedi   za beskonačno mnogo n, tada an ne konvergira u 0, pa je red divergentan.

Dokaz korolarije:

Za potencijalni red Σan = Σcn(z − p)n, vidimo, iz prethodno izloženog, da red konvergira ako postoji N takav da za sve nN imamo

 

ekvivalentno sa

 

za sve nN, što implicira da, kako bi red konvergirao, moramo imati   za sve dovoljno velike brojeve n. Ovo je ekvivalentno iskazu

 

tako da brijedi  . Sada jedino mjesto na kojem je konvergencija moguća je kada imamo

 

(pošto tačke > 1 divergiraju), a ovo neće promijeniti radijus konvergencije pošto su to samo tačke koje leže na granicama intervala ili diska, tako da vrijedi

 

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  • Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). "§ 2.35". A Course in Modern Analysis (fourth edition izd.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.CS1 održavanje: više imena: authors list (link) CS1 održavanje: dodatni tekst (link)

Ovaj članak sadrži materijal o dokazu Cauchyjevog kojenog testa sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.