Dinijev test

U matematici, Dinijev i Dini-Lipschitzov test su jako precizni testovi koji mogu dokazati da Fourierov red funkcije konvergira u datoj tački. Ovi testovi su dobili naziv po Ulisseu Diniju i Rudolfu Lipschitzu.

Definicija

Neka f bude funkcija na intervalu [0,2π], neka t bude neka neka tačka, te neka δ bude neki pozitivni broj. Definišemo lokalni modul neprekidnostiu tački t sa

$\left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|.$

Važno je primjeteti da razmatramo f kao periodičnu funkciju, npr. ako je t = 0 i ε je negativno, tada definišemo funkciju f(ε) = f(2π + ε).

Globalni modul neprekidnosti (ili jednostavnije Modul neprekidnosti) je definisan sa

$\left.\right.\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)$

Sa ovim definicijama možemo iskazati glavne rezultate

Teorem (Dinijev test): Pretpostavimo da funkcija f, u tački t, zadovoljava

$\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,d\delta <\infty .$

Tada Fourierov red funkcije f konvergira u t do f(t).

Na primjer, teorem se slaže sa izrazom $\omega _{f}=\log ^{-2}(\delta ^{-1})$, ali se ne slaže sa izrazom $\log ^{-1}(\delta ^{-1})$.

Teorem (Dini-Lipschitzov test): Pretpostavimo da funkcija f zadovoljava

$\omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.$

Tada Fourierov red funkcije f konvergira uniformno u f.

Generalno, svaka funkcija, koja zadovoljava Hölderov uslov, zadovoljava Dini-Lipschitzov test.

Preciznost

Oba testa su najbolji u svojoj klasi. Što se tiče Dini-Lipschitzovog testa, moguće je konstruisati funkciju f sa modulom neprekidnosti, koji zadovoljava test za O umjesto za o, npr.

$\omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.$

gdje Fourierov red od f divergira.

Što se tiče Dinijevog testa, iskaz preciznosti je nešto duži: Iskaz kaže da za svaku funkciju Ω takvu da vrijedi

$\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,d\delta =\infty$

postoji funkcija f takva da vrijedi

$\left.\right.\omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )$

gdje Fourierov red od f divergira u 0.

Također pogledajte

• Konvergencija Fourierovog reda.