Niz
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija. |
Funkciju kojoj je domen skup prirodnih brojeva , a kodomena ma koji dati skup nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa , odnosno sa .
U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake odnosno .
Element (tj. ) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element prvi član niza.
Ako je domen funkcije konačan podskup skupa , onda za niz kažemo da je konačan, i označavamo ga sa .
Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.
- Primjer
- Funkcija data sa za određuje niz
- Niz zadan formulom za , tj. glasi
Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang konačan skup .
Važniji nizovi brojeva Uredi
Fibonaccijev niz Uredi
Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.
a(n + 2) =an + a(n +1)
Primjer
2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....
Aritmetički niz Uredi
Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov
a(n +1) - an = a(n +2) -a(n +1)
Primjer
7, 9, 11, 13 ,.....
1,2 ,3, 4, 5, ...
Geometrijski niz Uredi
Geometrijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov
[a(n +1)]2 =ana(n +2)
Tačka gomilanja niza Uredi
Neka je neki pozitivan broj i . Pod - okolinom tačke , u oznaci ili podrazumijevamo skup
- okolina tačke je otvoreni interval dužine .
Broj nazivamo tačkom gomilanja niza ako svakoj - okolini tačke pripada beskonačno mnogo članova niza .
Dati niz može imati više tačaka gomilanja
Ograničeni nizovi Uredi
Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.
Za niz kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.
- Primjer
Niz je ograničen. Za svako n je
Monotoni nizovi Uredi
Niz brojeva kod kojeg nijedan član nije manji od člana koji mu direktno predhodi, odnosno niz za čija svaka dva susjedna člana vrijedi:
nazivamo monotono uzlazni (rastući). Naprimjer, niz 1, 2, 3, ... je monotono uzlazni, ali, također, i niz 2, 2, 2, ...
Za niz sa osobinom:
kažemo da je monotono silazni (opadajući) (npr. niz 5, 4, 4, 3, ...).
Specijalno, za nizove sa karakteristikama:
kažemo da su strogo monotoni, odnosno strogo uzlazni (rastući) ili strogo silazni (opadajući).
Nizovi funkcija Uredi
Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.
Niz funkcija označavamo kraće sa odnosno
Konvergencija nizova Uredi
Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.
Ako je dati niz i realan broj, onda za broj kažemo da je granična vrijednost niza ako za svaki postoji prirodan broj (koji može da ovisi od ) takav da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost:
U tom slučaju pišemo odnosno kada i čitamo: je granična vrijednost niza kada n teži u beskonačnost odnosno konvergira broju .
Ako je , onda niz nazivamo nula niz.
Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.
Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj naziva se granična vrijednost niza ako se u svakoj njegovoj - okolini nalaze gotovo svi članovi niza , sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.
- Primjer
Niz konvergira broju 2
Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:
- Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
- Konvergentan niz je ograničen
Za niz kažemo da divergira u ako za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve vrijedi: , i u tom slučaju pišemo odnosno da .
Za niz kažemo da divergira u ako za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve vrijedi: , i u tom slučaju pišemo odnosno da .
Konvergencija funkcionalnih nizova Uredi
U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.
Konvergencija po tačkama Uredi
Neka je neki niz funkcija definisanih na nekom skupu . Ako odaberemo neko proizvoljno , onda stavljajući dobijamo brojni niz .
Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz konvergira u tački Parsiranje nije uspjelo (MathML sa SVG ili PNG rezervom (preporučuje se za moderne preglednike i alate pristupačnosti): Neispravan odgovor ("Math extension cannot connect to Restbase.") sa servera "http://localhost:6011/bs.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x_0} .
Ako niz konvergira u svakoj tački , onda kažemo da niz konvergira na .
Ovaj vid konvergencije niza često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.
Ravnomjerna (uniformna) konvergencija Uredi
Neka su na nekom skupu definisane funkcije .
Kažemo da niz ravnomjerno (uniformno) na konvergira ka funkciji ako za svako postoji prirodan broj koji zavisi samo od i takav je da za svako vrijedi
Konvergencija gotovo svuda Uredi
Ako niz konvergira za gotovo svako , osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na .
Konvergencija u mjeri Uredi
Za niz - izmjerivih funkcija na prostoru mjere kažemo da konvergira u mjeri ka funkciji , ako za svako vrijedi
Konvergencija u normi Uredi
Za niz - izmjerivih funkcija na prostoru mjere kažemo da konvergira u normi ako vrijedi: