Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Preferences-system.svg Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija.
Pogledajte kako poboljšati članak, kliknite na link uredi i doradite članak vodeći računa o standardima Wikipedije.
Za druga značenja, pogledajte Niz (čvor).

Funkciju kojoj je domen skup prirodnih brojeva , a kodomena ma koji dati skup nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa , odnosno sa .

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake odnosno .

Element (tj. ) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element prvi član niza.

Ako je domen funkcije konačan podskup skupa , onda za niz kažemo da je konačan, i označavamo ga sa .

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.


Primjer
  • Funkcija data sa za određuje niz


  • Niz zadan formulom za , tj. glasi

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang konačan skup .

Važniji nizovi brojevaUredi

Fibonaccijev nizUredi

Glavni članak: Fibonaccijev broj

Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a(n + 2) =an + a(n +1)

Primjer

2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....

Aritmetički nizUredi

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a(n +1) - an = a(n +2) -a(n +1)


Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

Geometrijski nizUredi

Geometijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a(n +1)]2 =ana(n +2)

Tačka gomilanja nizaUredi

Neka je   neki pozitivan broj i  . Pod   - okolinom tačke  , u oznaci   ili   podrazumijevamo skup

 

 - okolina tačke   je otvoreni interval   dužine  .

Broj   nazivamo tačkom gomilanja niza   ako svakoj  - okolini tačke   pripada beskonačno mnogo članova niza  .

Dati niz   može imati više tačaka gomilanja

Ograničeni nizoviUredi

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz   kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je   za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je   za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je   za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer

Niz   je ograničen. Za svako n je  

Nizovi funkcijaUredi

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija   označavamo kraće sa   odnosno  

Konvergencija nizovaUredi

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je   dati niz i   realan broj, onda za broj   kažemo da je granična vrijednost niza   ako za svaki   postoji prirodan broj   (koji može da ovisi od  ) takav da za sve prirodne brojeve   vrijedi nejednakost:

 

U tom slučaju pišemo   odnosno   kada   i čitamo:   je granična vrijednost niza   kada n teži u beskonačnost odnosno   konvergira broju  .

Ako je  , onda niz   nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj   naziva se granična vrijednost niza   ako se u svakoj njegovoj  - okolini nalaze gotovo svi članovi niza  , sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer

Niz   konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

  • Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
  • Konvergentan niz je ograničen

Za niz   kažemo da divergira u   ako za svaki realan broj   postoji prirodan broj   takav da za sve   vrijedi:  , i u tom slučaju pišemo   odnosno da  .

Za niz   kažemo da divergira u   ako za svaki realan broj   postoji prirodan broj   takav da za sve   vrijedi:  , i u tom slučaju pišemo   odnosno da  .


Konvergencija funkcionalnih nizovaUredi

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

Konvergencija po tačkamaUredi

Neka je   neki niz funkcija definisanih na nekom skupu  . Ako odaberemo neko proizvoljno  , onda stavljajući   dobijamo brojni niz  .

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz   konvergira u tački  .

Ako niz   konvergira u svakoj tački  , onda kažemo da niz konvergira na  .

Ovaj vid konvergencije niza   često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.

Ravnomjerna (uniformna) konvergencijaUredi

Neka su na nekom skupu   definisane funkcije  .

Kažemo da niz   ravnomjerno (uniformno) na   konvergira ka funkciji   ako za svako   postoji prirodan broj   koji zavisi samo od   i takav je da za svako   vrijedi

  čim je  

Konvergencija gotovo svudaUredi

Ako niz   konvergira za gotovo svako  , osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na  .

Konvergencija u mjeriUredi

Za niz    - izmjerivih funkcija na prostoru mjere   kažemo da konvergira u mjeri   ka funkciji  , ako za svako   vrijedi

  kada  

Konvergencija u normiUredi

Za niz    - izmjerivih funkcija na prostoru mjere   kažemo da konvergira u normi     ako vrijedi:

  kada  

Također pogledajteUredi