D'Alambertov test

U matematici, D'Alambertov test je test (ili "kriterij") konvergencije redova

čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio Jean le Rond d'Alembert. Test koristi broj

gdje "lim sup" označava limes superior kada n teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno

u slačuaju gdje limes postoji.

D'Alambertov test kaže:

Ako je L = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).

PrimjeriUredi

KonvergiraUredi

Neka je dat red:

 

Ako primjenimo D'Alambertov test:

 

Red konvergira jer je   manje od 1.

DivergiraUredi

Neka je dat red:

 

Ako primjenimo D'Alambertov test:

 

Red divergira jer je   veće od 1.

NeodlučnoUredi

ako je limes općeg člana reda

 

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.

Na primjer, red

 

divergira, ali

 

Međutim, red

 

konvergira apsolutno, ali je

 

Konačno,

 

konvergira uslovno, ali

 

L=1 i Raabeov testUredi

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je

 .

Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu, omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

 

i ako je

 

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu.

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3