Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
U matematici , D'Alambertov test je test (ili "kriterij") konvergencije redova
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio Jean le Rond d'Alembert . Test koristi broj
L
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle L=\limsup _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
gdje "lim sup" označava limes superior kada n teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
u slačuaju gdje limes postoji.
D'Alambertov test kaže:
Ako je L = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).
Konvergira
uredi
Neka je dat red:
∑
n
=
1
∞
n
e
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
Ako primjenimo D'Alambertov test:
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
n
e
n
|
=
1
e
<
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}}
Red konvergira jer je
1
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}}
Neka je dat red:
∑
n
=
1
∞
e
n
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}
Ako primjenimo D'Alambertov test:
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
=
e
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|\\&=e>1.\end{aligned}}}
Red divergira jer je
1
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}}
ako je limes općeg člana reda
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.
Na primjer, red
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
divergira, ali
lim
n
→
∞
|
1
1
|
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}
Međutim, red
∑
n
=
1
∞
1
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
konvergira apsolutno, ali je
lim
n
→
∞
|
1
(
n
+
1
)
2
1
n
2
|
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}
Konačno,
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}
konvergira uslovno, ali
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
+
1
(
n
+
1
)
(
−
1
)
n
n
|
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}
L=1 i Raabeov test
uredi
Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu , omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
i ako je
lim
n
→
∞
n
(
|
a
n
+
1
a
n
|
−
1
)
<
−
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)<-1}
tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu .
Također pogledajte
uredi
Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis , third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3 
