Hagen–Poiseuilleova jednačina

Hagen–Poiseuilleova jednačina je fizikalni zakon koji opisuje sporo viskozno nestišljivo strujanje kroz konstantni kružni poprečni presjek. Poznat je i kao Hagen–Poiseuilleov zakon, Poiseuilleov zakon i Poiseuilleov jednačina. Nazvana je po njemačkom inženjeru i fizičaru Gotthilfu Hagenu i francuskom fizičaru i fiziologu Jean-Léonard-Marieju Poiseuilleu.

Mehanika kontinuuma
|
Zakoni Zakon održanja mase Zakon održanja količine kretanja Zakon održanja energije Nejednakost entropije
Mehanika čvrstih tijela Čvrsta tijela · Napon · Deformacija · Teorija konačnih deformacija · Teorija infinitezimalnih napreazanja · Elastičnost (linearna) · Plastičnost · Savijanje · Hookeov zakon · Teorija o otkazu materijala · Mehanika loma · Mehanika kontakta (frikciona)
Mehanika fluida Fluidi · Statika fluida Dinamika fluida · Arhimedov zakon · Bernoullijeva jednačina · Navier–Stokesove jednačine · Hagen–Poiseuilleova jednačina · Pascalov zakon · Viskoznost (Njutnovski fluid · Nenjutnovski fluid) · Potisak · Pritisak
Naučnici Bernoulli · Boyle· Cauchy · Charles · Euler · Gay-Lussac · Hooke · Newton · Pascal · Navier · Stokes

Jednačina

Standardno označavanje u dinamici fluida

U standrardnom označavanju u dinamici fluida:

$\Delta P={\frac {8\mu LQ}{\pi r^{4}}}$

ili

$\Delta P={\frac {128\mu LQ}{\pi d^{4}}}$

gdje je

$\Delta P$ pad pritiska

L dužina cijevi

$\mu$ dinamička viskoznost

Q is the zapreminski protok

r is the radijus

d is the dijametar

$\pi$ matematička konstanta pi (približno 3,141592654).

Fizikalno označavanje

$\Phi ={\frac {dV}{dt}}=v\pi R^{2}={\frac {\pi R^{4}}{8\eta }}\left({\frac {-\Delta P}{\Delta x}}\right)={\frac {\pi R^{4}}{8\eta }}{\frac {|\Delta P|}{L}}$

gdje je:

V zapremina tečnosti koja protiče (kumbi metar)

t vrijeme (sekunda)

v srednja brzina fluida uzduž cijevi (metar/sekunda)

x udaljenost u pravcu strujanja (metar)

R unutrašnji radijus cijevi (metar)

ΔP razlika u pritisku između dva kraja (paskal)

η je dinamička viskoznost fluida (paskal-sekunda (Pa·s)),

L ukupna dužina cijevi u x pravcu (metar).

Veza sa Darcy–Weisbachom

Ovaj rezultat je, također, rješene fenomenološke Darcy–Weisbachove jednačine u oblasti hidraulike, dajući odnos koeficijenta trenja preko Reynoldsovog broja:

$\Lambda ={64 \over {\it {Re}}}\;,\quad \quad Re={2\rho vr \over \eta }\;,$

gdje je Re Reynoldsov broj, a ρ je gustoća fluida. U ovom obliku, zakon aproksimira Darcyjev koeficijent trenja, koeficijent gubitka energije, koeficijent gubitka trenja ili Darcyjev koeficijent Λ u laminarnom strujanju pri niskim brzinama u cilindričnoj cijevi. Teoretsku derivaciju blago izmijenjenog oblika ovog zakon nezavisno su napravili Wiedman 1856. i Neumann i E. Hagenbach 1858. godine (1859. i 1860. godine). Hagenbach je bio prvi koji je nazvao ovaj zakon Poiseuilleovim zakonom.

Ovaj zakon posebno je važan u hemodinamici, jednoj od podoblasti fiziologije.

Poiseuilleov zakon je kasnije, 1891. godine, proširen i na turbulentno strujanje od strane L. R. Wilberforcea, čiji je rad osnovan na Hagenbachovom radu.

Derivacija

Glavni članak: Hagen-Poiseuilleovo strujanje iz Navier-Stokesovih jednačina

Hagen–Poiseuilleova jednačina može se dobiti iz Navier–Stokesovih jednačina.

Analogija sa električnim krugovima

Elektricitet je najprije shvaćen kao neka vrsta fluida. Ova hidraulička analogija je još uvijek konceptualno korisna.

Poiseuilleov zakon odgovara Ohmovom zakonu za električne krugove (U = IR), gdje je pad pritiska ΔP analogan sa naponom U, a zapreminski protok Φ je analogan struji I. Tada je otpor

$R={\frac {8\eta \Delta x}{\pi r^{4}}}$

Ovaj koncept je koristan jer je efektivni otpor u cijevi obrnuto proporcionalan četvrtom stepenu radijusa. Ovo znači da ako prepolovimo veličinu cijevi, otpor kretanju fluida povećat će se 16 puta.

I Ohmov i Poiseuilleov zakon ilustruju transportni fenomen.

Reference

• S. P. Sutera, R. Skalak, "The history of Poiseuille's law," Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 25, 1993, pp. 1–19
• Pfitzner, J (1976), "Poiseuille and his law.", Anaesthesia (objavljeno mart 1976), 31 (2), str. 273–5, PMID:779509

Također pogledajte

• Darcyjev zakon
• Puls
• Talas

Vanjski linkovi

• Poiseuille's law for power-law non-Newtonian fluid
• Poiseuille's law in a slightly tapered tube
• Web-based calculator of the Hagen-Poiseuille equation