Bernoullijeva jednačina

Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Bernoullijeva jednačina prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

Mehanika kontinuuma
|BernoullisLawDerivationDiagram.png


Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti:

Objašnjenje Bernoullijeve jednačineUredi

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačiniUredi

ρGustoća -  
S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka -  .
p - statički pritisak - (Pa)
v - brzina - (m/s)
mmasa tekućine - (kg)
R - mehanički rad - (W)
V - volumen mase tekućine -  
  • Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.
    •   geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u  
    •   piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u  
    •   je brzinska visina u  , a brzina   predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
    • Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka   i statičkog pritiska  , tekućina dobije veću brzinu  . Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

 
a kad uđe u uži dio:
 

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka ( )   pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = ( )   ΔS
R= ( ) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

( ) V =   -  

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ =  , dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

  +   =   +   =   +   = konst.

Izrazi   ,   +   i   +   prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinuUredi

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:
  1. tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
  2. Stacionarno strujanje

 

    •   predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u  .

Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanjaUredi

Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:

  1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
  2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integralaUredi

Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik


  ... ... ...(1E)
  ... ... ...(2E)
  ... ... ...(3E)

  - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:
matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

 ,

pa dobijemo jednačinu:

 

možemo derivirati

 
 
 

Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine

 
 

  • ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:

 
 
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine:
 

Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinuUredi

 

    •   je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u  .

Coriolisov koeficijentUredi

Naziva se i koeficijent kinetičke energije  . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:
    • kod strujanja u cijevima  
    • kod strujanja u otvorenim vodotocima  
    • vrijednost   možemo računati ovom formulom:

  - postavlja se uslov da je  

Praktična primjena Bernoullieve jednačineUredi

Primjer cijevi pod pritiskomUredi

 
Cijev pod pritiskom

Znamo:  .

gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi:  

 
 

Primjer za otvoreni vodotokUredi

 
Otvoreni vodotok


znamo: ako je strujanje ravnomjerno  

 

 

  • atmosferski pritisak djeluje na površini vodotoka
  • u piezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
linija vodnog lica je pijezometarska linija







Primjer za Venturijev vodomjerUredi

ZaključakUredi

 

gdje je   statički pritisak,   dinamički pritisak, a   ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.


  • Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

Također pogledajteUredi