Mehanika kontinuuma

Mehanika kontinuuma je oblast mehanike koja se bavi mehaničkim ponašanjem materijala koji su modelirani kao kontinuirana masa, a ne kao diskretne čestice. Francuski matematičar Augustin-Louis Cauchy prvi je formulirao takve modele u 19. stoljeću.

Mehanika kontinuuma
|
Zakoni Zakon održanja mase Zakon održanja količine kretanja Zakon održanja energije Nejednakost entropije
Mehanika čvrstih tijela Čvrsta tijela · Napon · Deformacija · Teorija konačnih deformacija · Teorija infinitezimalnih napreazanja · Elastičnost (linearna) · Plastičnost · Savijanje · Hookeov zakon · Teorija o otkazu materijala · Mehanika loma · Mehanika kontakta (frikciona)
Mehanika fluida Fluidi · Statika fluida Dinamika fluida · Arhimedov zakon · Bernoullijeva jednačina · Navier–Stokesove jednačine · Hagen–Poiseuilleova jednačina · Pascalov zakon · Viskoznost (Njutnovski fluid · Nenjutnovski fluid) · Potisak · Pritisak
Naučnici Bernoulli · Boyle· Cauchy · Charles · Euler · Gay-Lussac · Hooke · Newton · Pascal · Navier · Stokes

Objašnjenje

Modeliranje objekta kao kontinuuma pretpostavlja da njegova supstanca u potpunosti ispunjava prostor koji zauzima. Modeliranje objekata na ovaj način ignorira činjenicu da je materija sačinjena od atoma, i tako nije kontinuirana; međutim, na skali dužine mnogo većoj od one na međuatomskoj udaljenosti, takvi su modeli vrlo precizni. Na takve modele mogu se primijeniti osnovni fizički zakoni, kao što su očuvanje mase, očuvanje impulsa i očuvanje energije, kako bi se izvele diferencijalne jednadžbe koje opisuju ponašanje takvih predmeta, a neke informacije o istraživanom materijalu dodaju se putem konstitutivnih odnosa.

Mehanika kontinuuma bavi se fizičkim svojstvima čvrstih supstanci i fluida koje su neovisne o bilo kojem određenom koordinatnom sistemu u kojem se promatraju. Ta fizička svojstva tada predstavljaju tenzore, koji su matematički objekti sa više traženih svojstava neovisnosti od koordinatnog sistema. Ovi tenzori se mogu izraziti u koordinatnim sistemima radi računske pogodnosti.

Koncept kontinuuma

Materijali, kao što su čvrste supstance, tečnosti i plinovi, sastoje se od molekula odvojenih prostorom. Na mikroskopskoj skali, materijali imaju pukotine i diskontinuitete. Međutim, određeni fizički fenomeni mogu se modelirati, pod pretpostavkom da materijali postoje kao kontinuum, što znači da se materija u tijelu kontinuirano distribuira i ispunjava čitav prostor dijela koji zauzima. Kontinuum je tijelo koje se može kontinuirano podijeliti na beskonačno male elemente sa svojstvima struktura rasutog materijala.

Valjanost pretpostavke o kontinuumu može se provjeriti teorijskom analizom, u kojoj se identificira ili neka jasna periodičnost, ili statistička homogenost i ergodičnost mikrostrukture. Preciznije, pretpostavka o kontinuumu zavisi od koncepata reprezentativnog osnovnog volumena i odvajanja skala na osnovu Hill-Mandelovog stanja. Ovaj uvjet pruža vezu između stajališta eksperimentalista i teoretičara o konstitutivnim jednadžbama (linearna i nelinearna elastična / neelastična ili spregnuta polja), kao i načinu prostornog i statističkog usrednjavanja mikrostrukture.

Kada razdvajanje skala ne vrijedi ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički volumenski element“ (SVE), koji dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sa statističkom mehanikom. RVE se može procijeniti samo ograničeno, putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno za fluide, Knudsenov broj koristi se za procjenu u kojoj se mjeri može izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

Saobraćaj automobila kao uvodni primjer

Ako se uzme u obzir promet automobila na autoputu, sa samo jednom trakom radi jednostavnosti, pomalo iznenađujuće, i u znak priznanja svojoj efikasnosti, mehanika kontinuuma efikasno modelira kretanje automobila. To ostvaruje putem jednačina parcijalnih diferencijala (PDE) za gustinu automobila. Poznavanje ove situacije osnažuje mogućnost da se razumije malo dihotomije kontinuuma i diskretnosti koja je u osnovi modeliranja kontinuuma uopće.

Za početak modeliranja definirajmo da: $x$ mjeri udaljenost (u km) duž autoceste; $t$ je vrijeme (u minutama); $\rho (x,t)$ je gustoća automobila na autoputu (u automobilima/km u traci); a $u(x,t)$ je brzina protoka (prosječna brzina) tih automobila 'na' položaju $x$.

Konzervacija izvođenja PDJ

Automobili se tek tako pojavljuju pa nestaju. Razmotrimo bilo koju grupu automobila: od određenog automobila na stražnjem dijelu grupe koji se nalazi na $x=a(t)$ do određenog automobila na prednjoj strani koji se nalazi na $x=a(t)$ do određenog automobila sprijeda koji se nalazi na $x=b(t)$. T:Ukupan broj automobila u ovoj grupi $N=\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx$. Budući da su automobili zaštićeni (ako postoji preticanje, tada "automobil sprijeda\ straga" može postati različiti automobil)

$dN/dt=0$.

Ali putem Leibnizovog integralnog pravila:

${\begin{aligned}{}{\frac {dN}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t){\frac {db}{dt}}-\rho (a,t){\frac {da}{dt}}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t)u(b,t)-\rho (a,t)u(a,t)\\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)\right]dx\end{aligned}}$

Ovaj integral, kao nula, vrijedi za sve grupe, odnosno za sve intervale $[a,b]$. Jedini način na koji integral može biti nula za sve intervale je ako je integran za sve $x$. Slijedom toga, konzervacija izvodi nelinearno konzerviranje prvog reda PDE

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0$

za sve pozicije na autoputu.

Ovaj zaštitni PDE odnosi se, ne samo na automobilski prome,t već i na tečnosti, čvrste materije, gužvu, životinje, biljke, požar, finansijski promet itd.

Promatranje zatvara problem

Kada vrijedi skala razdvajnja ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički volumenski element“ (SVE), koji u okret, dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sa statistička mehanika. RVE se može procijeniti samo ograničeno putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno, za fluide, koristi se Knudsenov brojza procjenu u kojoj se mjeri mmože izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

Primjena

• Mehanika kontunuuma
  • Mehanika čvrstog stanja
  • Mehanika fluida
• Inženjerstvo
  • Građevinarstvo
  • Mehaničko inžinjerstvo
  • Vazduhoplovstvo
  • Biomedicinsko inzenjerstvo
  • Hemijsko inženjerstvo

Također pogledajte

• Bernoullijev princip
• Cauchyjev elastični materijal
• Konfiguraciona mehanika
• Krivolinijske koordinate
• Jednadžba stanja
• Tenzori konačnih deformacija
• Teorija konačnih deformacija
• Hiperelastični materijal
• Lagrangova i Eulerova specifikacija polja protoka
• Pokretni ćelijski automat
• Peridinamika
• Stres (fizika)
• Mjere stresa
• Tenzorski račun
• Teorija elastičnosti

Reference

Dopunska literatura

• Dienes, J. K.; Solem, J. C. (1999). "Nonlinear behavior of some hydrostatically stressed isotropic elastomeric foams". Acta Mechanica. 138 (3–4): 155–162. doi:10.1007/BF01291841.
• Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics (2nd izd.). Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-318311-5.
• Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised izd.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Arhivirano s originala (PDF), 31. 3. 2010.
• Ostoja-Starzewski, M. (2008). "7-10". Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials. CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.
• Spencer, A.J.M. (1980). Continuum Mechanics. Longman Group Limited (London). str. 83. ISBN 978-0-582-44282-5.
• Roberts, A. J. (1994). A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics. World Scientific.

Opće reference

• Batra, R. C. (2006). Elements of Continuum Mechanics. Reston, VA: AIAA.
• Bertram, Albrecht (2012). Elasticity and Plasticity of Large Deformations - An Introduction (Third izd.). Springer. doi:10.1007/978-3-642-24615-9. ISBN 978-3-642-24615-9.

• Chandramouli, P.N (2014). Continuum Mechanics. Yes Dee Publishing Pvt Ltd. ISBN 9789380381398. Arhivirano s originala, 4. 8. 2018. Pristupljeno 31. 10. 2020.

• Eringen, A. Cemal (1980). Mechanics of Continua (2nd izd.). Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-663-9.

• Chen, Youping; James D. Lee; Azim Eskandarian (2009). Meshless Methods in Solid Mechanics (First izd.). Springer New York. ISBN 978-1-4419-2148-2.

• Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN 978-0-8493-9779-0.

• Dimitrienko, Yuriy (2011). Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Germany: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.

• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN 978-3-540-20619-4.

• Gurtin, M. E. (1981). An Introduction to Continuum Mechanics. New York: Academic Press.
• Lai, W. Michael; David Rubin; Erhard Krempl (1996). Introduction to Continuum Mechanics (3rd izd.). Elsevier, Inc. ISBN 978-0-7506-2894-5. Arhivirano s originala, 6. 2. 2009.

• Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 978-0-8493-1138-3.

• Malvern, Lawrence E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

• Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-040663-6.

• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Continuum Mechanics for Engineers (Second izd.). CRC Press. ISBN 978-0-8493-1855-9.

• Maugin, G. A. (1999). The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction. Singapore: World Scientific.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83979-2.

• Ostoja-Starzewski, Martin (2008). Microstructural Randomness and Scaling in Mechanics of Materials. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-8025-7.

• Wright, T. W. (2002). The Physics and Mathematics of Adiabatic Shear Bands. Cambridge, UK: Cambridge University Press.