Gradijent

U vektorskom kalkulusu, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje pravac najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Banachovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijanska matrica i determinanta. Ovaj koncept je imenovan po njemačkom matematičaru Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju.

Interpretacija gradijentaUredi

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem  , tako da je u svakoj tački   temperatura   (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smjer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smjeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Naprimjer, ako je ugao između ceste u pravca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicijaUredi

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije   po vaktorskoj varijabli   se označava kao   ili   gdje je   (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka   se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije  . To jest:

 

Skalarni proizvod   gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski integrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnog teorema. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzijeUredi

Oblik gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

 

U cilindričnim koordinatama:

 

(gdje je   azimutalni ugao, a   je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

 

(gdje je   azimutalni ugao, a   je zenitni ugao).

PrimjerUredi

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

 

je:

 

Gradijent i izvod ili diferencijalUredi

Linearna aproksimacija funkcijeUredi

Gradijent funkcije   iz Euklidovog prostora   u   i bilo kojoj tački x0 u   karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

 

za   koje je blizu  , gdje je   gradijent funkcije f izračunat u  , gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu  .

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157-160. ISBN 0-486-41147-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)