Kvadratni korijen

U matematici, kvadratni korijen od broja x je broj r, takav da je r²= x, ili, drugim riječima, broj r, čiji je kvadrat (rezultat množenja broja sa samim sobom) jednak x.

Svaki nenegativan realan broj x ima jedinstven nenegativni kvadratni korijen, koji se naziva osnovni (glavni) kvadratni korijen, koji se označava sa radikalnim simbolom kao $\scriptstyle {\sqrt {x}}$, ili, koristeći eksponentno označavanje, kao x^1/2. Na primjer, osnovni korijen od 9 je 3, u oznaci $\scriptstyle {\sqrt {9}}=3$, jer je 3² = 3 × 3 = 9 i 3 je nenegativan broj. Osnovni kvadratni korijen pozitivnog broja, međutim, je samo jedan od njegova dva kvadratna korijena.

Svaki pozitivan broj x ima dva kvadratna korijena. Jedan od njih je $\scriptstyle {\sqrt {x}}$, koji je pozitivan, a drugi je $\scriptstyle -{\sqrt {x}}$, koji je negativan. Zajedno, ova dva korijena se obilježavaju kao $\scriptstyle \pm {\sqrt {x}}$. O kvadratnim korjenima negativnih brojeva može se govoriti u okviru kompleksnih brojeva. Općenitije, kvadratni korijen može se promatrati u bilo kojem kontekstu u kojem je pojam "kvadriranja" nekih matematičkih objekata definisan (uključujući i algebre matrica, endomorfološke prstene, i td.).

Osobine

Grafik funkcije $\scriptstyle f(x)={\sqrt {(}}x)$, kojeg čini pola parabole s vertikalnom direktisom.

Osnovni korijen funkcije $\scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}$ (obično se naziva samo "funkcija kvadratnog korijena") je funkcija koja preslikava skup nenegativnih realnih brojeva R⁺ ∪ (0) u samog sebe, i, kao i sve funkcije, uvijek vraća jedinstvenu vrijednost. Funkcija kvadratnog korijena, također, preslikava racionalne brojeve u algebarske brojeve (nadskup racionalnih brojeva); $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ je racionalan ako i samo ako je x racionalan broj koji se može prikazati kao omjer dva savršena kvadrata. U geometrijskom smislu, kvadratni korijen funkcije preslikava površinu kvadrata na njegovu dužinu stranice.

• Za sve realne brojeve x

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{ako je }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{ako je }}x<0.\end{cases}}$     (pogledajte apsolutnu vrijednost)

• Za sve nenegativne realne brojeve x i y,

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

i

${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$

• Funkcija kvadratnog korijena je neprekidna za sve nenegativne x i diferencijabilna za sve pozitivne x. Njena derivacija data je kao

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

• Taylorov red od √1 + x oko x = 0 konvergira za | x | < 1, i dat je kao

${\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!$

Izračunavanje

Glavni članak: Metodi izračunavanja kvadratnih korijena

Većina džepnih kalkulatora ima tipku za kvadratni korijen. Računarski softveri se, također, često koriste za izračunavanje kvadratnih korijena. Računarski programi obično sadrže dobre rutine za izračunavanje eksponencijalne funkcije i prirodnog logaritma ili logaritma, da bi kvadratni korijen od x izračunao koristeći identitet

${\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}$ ili ${\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}.$

Isti identitet se koristi kada se kvadratni korijen računa pomoću logaritamskih tablica ili logaritmara.

Najčešći iterativni metod "ručnog" izračunavanja kvadratnog korijena je poznat kao "Babilonski metod" ili "Heronov metod" (po grčkom filozofu iz prvog vijeka, Heronu, koji ga je prvi opisao. Metod ima jednostavan algoritam, koji daje rezultat broj, koji je sve bliži tačnom rezultatu, pri svakom novom koraku izračunavanja. Kako bi odredili r, kvadratni korijen realnog broja x:

1. Počnemo sa proizvoljnom pozitivnom početnom vrijednosti r (što je bliža kvadratnom korijenu od x, to je bolje).
2. Zamijenimo r sa srednjom vrijednosti između r i x/r, to jest: $\scriptstyle (r+x/r)/2\,$ (Dovoljno je uzeti aproksimativnu vrijednost srednje vrijednosti kako bi se osigurala konvergencija).
3. Ponavljamo korak 2 sve dok r i x/r nisu blizu po našoj želji ili potrebi.

Vremenska složenost za izračunavanje kvadratnog korijena sa n decimala preciznosti je ekvivalentna onoj pri množenju dva broja sa n decimala.

Također pogledajte

• Kubni korijen
• Kvadratni korijen cijelog broja
• Metodi izračunavanja kvadratnog korijena
• Ugnjiježdeni radikal
• Nti korijen
• Kvadratni iracionalni broj
• Kvadratni ostatak
• Korijen od jedan
• Rješavanje kvadratnih jednačina sa neprekidnim razlomcima
• Kvadrat (algebra)
• Kvadratni korijen od 2
• Kvadratni korijen od 3
• Kvadratni korijen od 5
• Kvadratni korijen matrice
• Princip kvadratnog korijena

Reference

• Imhausen, Annette (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. str. 187-384. ISBN 0691114854.
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598.
• Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307.

Vanjski linkovi

• Japanske soroban tehnike - metod profesora Fukutaro Katoa
• Japanske soroban tehnike - metod Takashi Kojime
• Algoritmi, implementacije i više - web stranica Paula Hsieha za kvadratne korijene
• Kvadratni korijen pozitivni realni brojevi sa implementacijama u Rexx.
• Kako ručno izračunati kvadratni korijen