Binomni red

U matematici, binomni red je čista generalizacija algebarske formule binomnog teorema za kompleksne vrijednosti od α. To je specijalni slučaj Newtonovog reda. Binomni red je red

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}$

gdje je α kompleksan broj i gdje je

${\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}$

(generalizovani) binomni koeficijent (ako je α nenegativan cijeli broj, tada (α + 1)-ti član i svi slijedeći članovi su nula, pošto svaki sadrži faktor oblika (α − α): zbog toga, u tom slučaju, sumiranje se svodi na algebarsku binomnu formulu).

Slijedeće vrijedi za svaki kompleksan broj α:

${\alpha \choose 0}=1,$

${\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},\qquad \qquad (1)$

${\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.\qquad \qquad (2)$

Kada α nije prirodan broj, korisna asimptotska veza za binomni koeficijent je, prema tzv. veliko O notaciji:

${\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1))=\;O\left({\frac {1}{k^{1+Re(\alpha )}}}\right),\qquad \qquad (3)$

kada $k\to \infty \;$, što je, u suštini, jednako Eulerovoj definiciji gama funkcije, koja je data preko formule

$\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}}.\,\qquad$

Prve rezultate o konvergenciji binomnog reda dao je Sir Isaac Newton, te se zbog toga pinekad naziva i Newtonov binomni teorem. Kasnije, Niels Henrik Abel se, također, bavio ovom problematikom.

Također pogledajte

• Binomni teorem
• Tabela Newtonski redova