Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost x se zapisuje kao ex, gdje je e matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku exp(x).

The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of x, climbs quickly for positive values of x, and equals 1 when x is equal to 0. Its y value always equals the slope at that point.

Ako funkcija od realne varijable x, grafik od y = ex je uvijek pozitivan (iznad x ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje x osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je x osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(x), je definisan za sve pozitivne x. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je antilogaritam. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin eksponencijalna funkcija se općenito koristi za funkcije oblika cbx, gdje je b, predstavljajući bazu, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti e. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla x može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

Formalna definicijaUredi

 
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh n+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

 .

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, ex je definisano kao rješenje y jednačine

 

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

 

Neprekidni razlomci za exUredi

Preko Eulerovog identiteta:

 

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

 

Ako stavimo da je m = x i n = 2, dobijamo

 

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravniUredi

Eksponencijalna funkcija može se definisati i u kompleksnoj ravni na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

 

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

 

vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:

 
 
 
 

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda  , jer vrijedi

 

i

 

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definisati općenitije da je

 

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

 

Izračunavanje ez za kompleksan zUredi

Ovo slijedi direktno iz formule

 

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

Vanjski linkoviUredi