Prirodni logaritam

Prirodni logaritam, od prije poznat kao hiperbolički logaritam,[1] je logaritam za bazu e, gdje je e iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije. Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na kojeg se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primjer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e1 = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e0 = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je obješnjeno u tekstu ispod.

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kada x raste, a polahko ide na negativnog beskonačnosti kada x teži ka nula 0.

Dio serije članaka o
matematičkoj konstanti e

Euler's formula.svg

Prirodni logaritam

Primjene u: Složena kamata · Eulerov identitet i Eulerova formula  · Poluživoti i eksponencijalni rast/opadanje

Definicije broja e: Dokaz da je e iracionalan broj  · Predstavljanja broja e · Lindemann–Weierstrassov teorem

Ljudi John Napier  · Leonhard Euler

Schanuel's conjecture

Funkcija prirodnog logaritma može se difinisati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

Drugim riješima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu e, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

Konvencije o oznakamaUredi

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(x)" ili "ln(x)" u značenju loge(x), npr., prirodni logaritam od x, i pišu "log10(x)" ako se traži logaritam baze 10 od x.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(x)" (ili ponekad "loge(x)") kada koriste prirodni logaritam od x, a koriste "log(x)" kada koriste log10(x) ili, u slučaju nekih informatičara, log2(x) (iako se ovo piše kao lg(x)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa ln, a log predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(x)" označava "log2(x)".

OsobineUredi

  •  
  •  
  •  

Derivacija, Taylorov redUredi

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

 
 
Taylorovi polinomi za  (1+x) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu -1 < x ≤ 1. Uočite da su, za x > 1, Taylorovi polinomi višeg stepena gore aproksimacije.

Ovo vodi do Taylorovog reda za   oko  ; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

 
 

Desno je slika funkcije   i nekih njenih Taylorovih polinoma oko  . Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti -1 < x ≤ 1; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem x-1 umjesto x, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

 
 
 [2]

[3]

Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

 

Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je   također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja y, jednostavno uvrstimo u   za x.

Prirodni logaritam u integracijiUredi

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika g(x) = f '(x)/f(x): antiderivacija od g(x) je data sa ln(|f(x)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

 

Drugim riječima,

 

i

 

Slijedi primjer u slučaju kada je g(x) = tan(x):

 
 

Neka je f(x) = cos(x), a f'(x)= - sin(x):

 
 

gdje je C konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

 

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Flashman, Martin. "Estimating Integrals using Polynomials". Pristupljeno 2008-03-23.
  2. ^ "Logarithmic Expansions" at Math2.org
  3. ^ "Math Solvers" at GeekAndNerd.org

Vanjski linkoviUredi