Prirodni logaritam

Prirodni logaritam, od prije poznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam za bazu e, gdje je e iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije. Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na kojeg se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primjer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e¹ = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e⁰ = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je obješnjeno u tekstu ispod.

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kada x raste, a polahko ide na negativnog beskonačnosti kada x teži ka nula 0.

Dio serije članaka o matematičkoj konstanti e Prirodni logaritam Primjene u: Složena kamata · Eulerov identitet i Eulerova formula  · Poluživoti i eksponencijalni rast/opadanje Definicije broja e: Dokaz da je e iracionalan broj  · Predstavljanja broja e · Lindemann–Weierstrassov teorem Ljudi John Napier  · Leonhard Euler Schanuel's conjecture

Funkcija prirodnog logaritma može se definirati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

$e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{ako je }}x>0\,\!$

$\ln(e^{x})=x.\,\!$

Drugim riješima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

$\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .$

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu e, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

Konvencije o oznakama

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(x)" ili "ln(x)" u značenju log_e(x), npr., prirodni logaritam od x, i pišu "log₁₀(x)" ako se traži logaritam baze 10 od x.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(x)" (ili ponekad "log_e(x)") kada koriste prirodni logaritam od x, a koriste "log(x)" kada koriste log₁₀(x) ili, u slučaju nekih informatičara, log₂(x) (iako se ovo piše kao lg(x)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa ln, a log predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(x)" označava "log₂(x)".

Osobine

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {za}}\quad 0<x<y\;$
• ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {za}}\quad h>-1\;$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$

Derivacija, Taylorov red

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

Taylorovi polinomi za $\log _{e}$(1+x) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu -1 < x ≤ 1. Uočite da su, za x > 1, Taylorovi polinomi višeg stepena gore aproksimacije.

Ovo vodi do Taylorovog reda za $\ln(1+x)$ oko $0$; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {za}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad$

${\rm {osimakoje}}\quad x=-1$

Desno je slika funkcije $\ln(1+x)$ i nekih njenih Taylorovih polinoma oko $0$. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti -1 < x ≤ 1; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem x-1 umjesto x, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}$

$\ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots$

${\rm {za}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {osimakoje}}\quad x=0.$

Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je $x \over {x-1}$ također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja y, jednostavno uvrstimo u $y \over {y-1}$ za x.

Prirodni logaritam u integraciji

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika g(x) = f '(x)/f(x): antiderivacija od g(x) je data sa ln(|f(x)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

Drugim riječima,

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

i

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Slijedi primjer u slučaju kada je g(x) = tan(x):

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Neka je f(x) = cos(x), a f'(x)= - sin(x):

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

gdje je C konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Također pogledajte

• John Napier - izumitelj logaritma
• Logaritamska integralna funkcija
• Nicholas Mercator - pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
• Polilogaritam
• Von Mangoldtova funkcija
• Broj e

Vanjski linkovi

• Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained