Granična vrijednost funkcije

U matematici, granična vrijednost funkcije je osnovni način određivanja vrijednosti u kalkulusu i matematičkoj analizi, a koje se odnose na ponašanje te funkcije u određenoj ulaznoj tački. Funckija f(x) ima graničnu vrijednost l u tački p ako je vrijednost f(x) približno jednaka l (kada je x približno p). Pojam granične vrijednosti ima višestruku upotrebu u modernim kalkulusu. Konkretno, pri definisanju mnogih neprekidnih funkcija koristi se granična vrijednost: otprilike, funkcija je neprekidna ako se sve njene granične vrijednosti slažu s vrijednostima funkcije. Ona se pojavljuje u definiciji derivacija: u kalkulusu sa jednom promjenljivom, to je granična vrijednost nagiba presjeka linija na grafu funkcije. Prve definicije, koje su se pojavite u ranom 19. vijeku, su napisane u tekstu ispod.

x
1 0.841471...
0.1 0.998334...
0.01 0.999983...

Iako funkcija (sin x)/x nije definirana u nuli, kako x postaje sve bliži i bliži nuli, tako (sin x)/x postaje proizvoljno blizu 1. Drugim riječima,granična vrijednost (sin x)/x kako se x približava nuli jednaka je 1.

DefinicijeUredi

Funkcije na skupu realnih brojevaUredi

Pretpostavimo da je f : RR funkcija definisana u skupu realnih brojeva i da p,lR; tada kažemo: limes funkcije f ako x teži p je l, a to se piše:

 

ako i samo ako za svako realno ε > 0 postoji realno δ > 0 takvo da je | f(x) - l | < ε kada 0 < | x - p | < δ. Nije nužno da f(p) bude definisana.

x može težiti p odozgo (desno) ili odozdo (lijevo), kada se limes piše kao:

 

ili

 

respektivno. Ako su ova dva limesa jednaka sa l, tada pišemo limes od f(x) za p. Ako limesi nisu jednaki sa l, tada limesi, kao takvi, ne postoje.

Funkcije u metričkom prostoruUredi

Pretpostavimo je f : (M,dM) → (N,dN) definisana između dva metrička prostora, sa x ∈ M, a p tačka gomilanja od M i lN. Tada kažemo da je granična vrijednost f, kada x teži p, l i pišemo

 

ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je dN(f(x), l) < ε kada je 0 < dM(x, p) < δ. p ne mora biti u domeni od f, niti l mora biti u rangu od f.

Altervativna definicja, koja koristi koncept susjednosti članova, glasi:

 

ako i samo ako sa svaki susjedni član V od l u N postoji susjedni član U od p u M, takav da je f(U - {p}) ⊆ V.

Funkcije u topološkom prostoruUredi

Pretpostavimo da su X i Y topološki prostori, gdje je Y Hausdorffov prostor. Neka p bude tačka gomilanja od X, i lY i f : X - {p} → Y funkcija. Tada kažemo da je granična vrijednost f, ako x teži p, 'l i pišemo

 

ako i samo ako za svaki susjedni član V od l, postoji susjedni član U od p takav da je f(U - {p}) ⊂ V.

Limes funkcija u beskonačnostiUredi

 
Granična vrijednost funkcije postoji za svako ε > 0 postoji S > 0, takvo da je | f(x) - L | < ε za svako x > S.

Ako se posmatra linija proširenog sistema realnih brojeva R koja je označena sa R ∪ {-∞, +∞}, onda je moguċe odrediti granice funkcije u beskonačnosti.

Uzmimo da je f(x) stvarna vrijednost funkcije takva da se x može poveċavati ili smanjivati neograničeno, onda kažemo da granična vrijednost f dok x prilazi beskonačnosti jednaka L i pišemo

 

ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji S > 0 tako da je | f(x) - L | < ε kad je x > S.

Slično tome, kažemo za graničnu vrijednost od f dok x prilazi beskonačnosti da je beskonačna i pišemo

 

ako i samo ako za svaki R > 0 postoji S > 0 tako da za sve realne brojeve f(x) > R kad je x > S.

Tako se na uporedan način mogu odrediti sljedeći izrazi:

 .

Računanje granične vrijednosti u beskonačnostiUredi

Postoje tri osnovna pravila kod određivanja graničnih vrijednosti racionalnih funkcija u beskonačnosti f(x) = p(x)/q(x):

  • Ako je stepen p veċi od stepena q, onda je granica pozitivna ili negativna beskonačnost zavisno od predznaka vodeċih koeficijenata.
  • Ako su stepeni p i q jednaki, granica se onda dobija dijeljenjem vodeċeg koeficijenta p sa vodeċim koeficijento q.
  • Ako je stepen p manji od stepena q, onda je granica jednaka 0.

Ako postoji granična vrijednost u beskonačnosti, ona je onda predstavljena horizontalnom asimptotom x = L. Polinomi nemaju horizontalne asimptote, ali se one mogu pojaviti kod racionalnih funkcija.

Kompleksne funkcijeUredi

Kompleksna ravan sa metričkim vrijednostima   je također metrički prostor. Postoje dvije različite vrste graničnih vrijednosti kada uzmemo u obzir funkcije sa kompleksnim vrijednostima.

Granična vrijednost funkcije u tačkiUredi

Uzmimo da je f funkcija sa kompleksnom vrijednošċu, onda pišemo da

 

ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji δ >0 za sve realne brojeve x sa 0<|x-p|<δ, onda imamo da je |f(x)-L|<ε

To je samo poseban slučaj funkcije preko metričkih prostora sa M i N koji su u kompleksnoj ravnini.

Granična vrijednost funkcije sa više promjenljivihUredi

Predstavljajuċi |x-p| kao udaljenost, onda se definicija granične vrijednosti može proširiti i na funkcije sa više promjenljivih. Na primjeru funkctije f : R2R,

 

ako i samo ako

za svaki ε > 0 onda postoji δ > 0 takav gdje (x,y) sa 0 < ||(x,y)-(p,q)|| < δ, imamo |f(x,y)-L| < ε

gdje ||(x,y)-(p,q)|| predstavlja Euklidsku udaljenost. Ovo se može primijeniti na bilo koji broj promjenljivih.

OsobineUredi

Za graničnu vrijednost funkcije F na P je L kažemo da je jednaka: kada je svaki konvergentni niz (xn) u M sa graničnom vrijednošċu niza jednak p, onda je niz (f(xn)) konvergentan sa graničnom vrijednošċu L.

Ako skupovi A, B, ... stvaraju konačnu podjelu domena funkcije,  , ... i relativna granična vrijednost za svaki od tih skupova jednaka je L, onda je i granična vrijednost u tački x jednaka L. Funkcija f je neprekidna u p ako i samo ako f(x) dok x teži (konvergira) p postoji i konačna je. Isto tako, f mijenja svaki niz u M koji teži p u niz N koji teži f(p).

Opet, ako je N normirani vektorski prostor, onda je operacija granične vrijednosti linearna u sljedećim smislu: ako je granična vrijednost f (x) kada x teži p je L i granična vrijednost g (x) kada x teži p je P, onda je granična vrijednost F (x) + g (x) kada x teži p je L + P. Ako je a skalar iz osnove polja, onda je granična vrijednost af (x) kada x teži p jednaka aL.

Uzimajući da su granične vrijednosti funkcija u skladu sa algebarskim operacijama, pod uslovom da su granične vrijednosti na desnoj strani izraza ispod stoji da su:

 

Gornji izraz vrijedi ako je denominator različit od nule. Na osnovu gore navedenog, u slučaju kada ne postoje ograničenja na desnoj strani, ili kao u posljednjem slučaju, kada su granične vrijednosti u brojniku i nazivniku nula. Ipak, ograničenje na lijevoj strani i dalje može postojati, a to zavisi o funkcijama F i G .

Ova pravila također vrijede za jednostrane granične vrijednosti, kao u slučaju p = ±∞, kao i za beskonačne granične vrijednosti koristeċi pravila:

  • q + ∞ = ∞ for q ≠ -∞
  • q × ∞ = ∞ if q > 0
  • q × ∞ = −∞ if q < 0
  • q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

(pogledati Prošireni niz realnih brojeva).

Obratiti pažnju da nema opšteg pravila za q / 0; to sve zavisi od načina prilaska 0. Neodređeni oblici — kao na primjer, 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞ — također ne potpadaju pod ova pravila, ali odgovarajuċe granične vrijednosti često mogu biti određene sa L'Hôpitalovim pravilom ili Teoremom stiska.

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  • MacTutor History of Weierstrass.
  • MacTutor History of Bolzano
  • Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)
  • Apostol, Tom M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison–Wesley, 1974. ISBN 0-201-00288-4.
  • Bartle, Robert (1967), The elements of real analysis, Wiley
  • Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third izd.), New York: McGraw–Hill, str. 558–559, ISBN 0-07-009465-9
  • Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 107 (9): 844–862, doi:10.2307/2695743, JSTOR 2695743.
  • Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Springer Verlag
  • Grabiner, Judith V. (1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, collected in Who Gave You the Epsilon? ISBN 978-0-88385-569-0 pp. 5–13. Also aviable here: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
  • Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press
  • Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, pristupljeno 18. 12. 2008.
  • Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ured. (2002), "Media Highlights", The College Mathematics, Mathematical Association of America, 33 (2): 147–154, JSTOR Journal 2687124 Journal.
  • Sutherland, W. A., Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford University Press, Oxford, 1975. ISBN 0-19-853161-3.
  • Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill
  • Whittaker; Watson (1904), A course of modern analysis, Cambridge University Press