Funkcija (matematika)

Za članak, koji govori o funkcijama i procedurama (podrutine) u programiranju, pogledajte članak funkcija (programiranje)

Matematički koncept funkcije izražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijabla ili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnog skupa, kao što su realni brojevi.

Grafik primjera funkcije,

HistorijaUredi

Funkcija kao matematički termin je prvi put objavio Gottfried Wilhelm Leibniz 1694. godine kako bi opisao količinu u relaciji prema krivoj. Te funkcije danas zovemo diferencijali.

Uobičajena notacija za funkciju je f(x), koju je prvi upotrebio švicarski matematičar Leonhard Euler.

Inverzna funkcijaUredi

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označenasa ƒ−1, funkcija u suprotnom smijeru, od Y do X, sa osobinom da kompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzabilne.

Kao primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Fahrenheite, funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.

 

Ispitivanje toka funkcijeUredi

Ispitati tok funkcije   znači oidrediti sljedeće

Područje definicijeUredi

Za određivanje područja definicije funkcije   potrebno je poznavati elementarne funkcije

ParnostUredi

Parnost funkcije   provjerava se pomoću definicije:

Funkcija   je parna ako je   za svaki  , a neparna ako je  ) za svaki  .

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak  .

Primjer

 

je parna za   paran, a neparna za   neparan pa je:

 .

Funkcija   je parna: ako je  , tada je   pa vrijedi

 

Za   je   pa vrijedi

 

PeriodičnostUredi

Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija   je periodična ako postoji broj   takav da za svaki   vrijedi
 

Tada mora vrijediti  . Najmanji takav pozitivni broj   osnovni period ili period funkcije  .

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcijeUredi

Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine  

Asimptote funkcijeUredi

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli  ) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava   je vertikalna asimptota funkcije  u tački   s lijeve strane ako je   ili  .

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   u tacki   s desne strane ako je

  ili

 .

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   s obje strane.

Prava   je vertikalna asimptota funkcija  ,   i   s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na lijevoj strani ako je  . Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na desnoj strani ako je  .

Primjer

Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na obje strane, kao i   horizontalna asimptota funkcija   i   na lijevoj strani.

Ako je

 

pri čemu je

  tada je prava   kosa asimptota funkcije   sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije   sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je  . Prema definiciji asimptote   kada  . Kako je   konstanta, zaključujemo da  .

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

  je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

 .

  pa je

 .

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:

  1. kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada   i kada
  2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu,   uvijek treba računati posebno
  3. treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada  ,
Primjer

 .

Ekstremi funkcijeUredi

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija   neprekidna u tački  . Ako funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  , tada je   kritična tačka funkcije  .

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija   neprekidna u tački  . Tačka   je stacionarna tačka funkcije   ako je  . Tačka   je kritična tačka funkcije   ako je   stacionarna tačka ili ako   nije diferencijabilna u tački  .

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda   i riješiti jednačinu  . Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme

Ako prvi izvod   mijenja predznak u kritičnoj tački  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  . Pri tome vrijedi sljedeće
ako   mijenja predznak sa   na  , tada je   lokalni minimum, a ako   mijenja predznak sa   na  , tada je   lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački   funkcija   dva puta diferencijabilna. Ako je  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tacki  . Pri tome vrijedi sljedeće
ako je  , tada je   lokalni minimum, a ako je  , tada je   lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme

Neka funkcija   ima u nekoj   -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda  , pri čemu je  .
Neka je  
Ako je   neparan, tada funkcija   ima infleksiju u tački  . Ako je   paran i ako je uz to još i  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački   i to minimum za   i maksimum za  .

Intervali monotonostiUredi

Posto smo načli prvi izvod   funkcije   intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od   na osnovu teoreme

Neka je funkcija   diferencijabilna na intervalu  . Tada vrijedi
  1. funkcija   je rastuća na intervalu   ako i samo ako je   za svaki  
  2. Funkcija   je opadajuća na intervalu   ako i samo ako je   za svaki  
  3. Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo rastuća na intervalu  
  4. Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo opadajuća na intervalu  .

Konkavnost i konveksnost funkcijeUredi

Potrebno je odrediti drugi izvod  ,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija   dva puta deiferencijabilna na intervalu  . Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo konveksna na intervalu  . Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo konkavna na intervalu  .

Tačke infleksijeUredi

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod   mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj   -okolini tačke  , osim možda u tački  . Ako   mijenja predznak u tački  , tada funkcija   ima infleksiju u tački  .

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija   ima u nekoj   - okolini tačke   neprekidne izvode do uključivo reda  , pri čemu je  . Neka je
 
Ako je   neparan, tada funkcija   ima infleksiju u tački  .
Ako je   paran i ako je uz to još i  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tacki   i to minimum za   i maksimum za  .

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod   jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija   ima infleksiju u tački   i ako   postoji, tada je  .

Graf funkcijeUredi

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

Ostale osobineUredi

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.

Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

ZabilješkeUredi

ReferenceUredi

  • Anton, Howard (1980), Calculus with Analytical Geometry, Wiley, ISBN 978-0-471-03248-9
  • Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd izd.), Wiley, ISBN 978-0-471-05464-1
  • Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press (objavljeno 1993), ISBN 978-0-521-09227-2
  • Husch, Lawrence S. (2001), Visual Calculus, Univerzitet u Tennesseeu, pristupljeno 2007-09-27
  • da Ponte, João Pedro (1992), "The history of the concept of function and some educational implications", The Mathematics Educator, 3 (2): 3–8, ISSN 1062-9017
  • Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995), Calculus and Analytic Geometry (9th izd.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9
  • Youschkevitch, A. P. (1976), "The concept of function up to the middle of the 19th century", Archive for History of Exact Sciences, 16 (1): 37–85, doi:10.1007/BF00348305.
  • Monna, A. F. (1972), "The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue", Archive for History of Exact Sciences, 9 (1): 57–84, doi:10.1007/BF00348540.
  • Kleiner, Israel (1989), "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey", The College Mathematics Journal, 20 (4): 282–300, doi:10.2307/2686848.
  • Ruthing, D. (1984), "Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.", Mathematical Intelligencer, 6 (4): 72–77.
  • Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy, Mathematical Association of America, ISBN 0883850818.
  • Malik, M. A. (1980), "Historical and pedagogical aspects of the definition of function", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 11 (4): 489–492, doi:10.1080/0020739800110404.
  • Ispitivanje toka funkcije

Vanjski linkoviUredi



  Nedovršeni članak Funkcija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.