Eksponent

GraFikoni y = b^x za razne baze b: Šablon:Legend-line Šablon:Legend-line Šablon:Legend-line Šablon:Legend-line Svaka kriva prolazi kroz tačku (0, 1) jer je bilo koji broj različit od nule podignut na stepen 0 1. U x = 1, vrijednost y je jednako bazi jer je svaki broj podignut na stepen od 1 sam broj.

Šablon:Calculation results

Eksponencijacija je matematička operacija, napisana kao bⁿ , koji uključuje dva broja, baza b i eksponent ili power n, i izgovara se kao "b (podignuto) na (potenciju) n". Kada je n pozitivan integer, eksponencijacija odgovara ponovljenom umnošku baze: to jest, bⁿ je proizvod množenja n baza:

$$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.$$

Eksponent se obično prikazuje kao superskripta desno od baze. U tom slučaju, bⁿ zove se "b podignut na n-tu potenciju, 'b (podignut) na stepen n', "n-ti stepen b", "b na n-tu potenciju", ili najkraće kao "b do n-og.

Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj $n$, $b^{n}$ $n$ pojavljivanja $b$ sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:

$${\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}$$

Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da $b^{0}$ mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji $n$, $b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}$. Podjela obje strane sa $b^{n}$ daje $b^{0}=b^{n}/b^{n}=1$.

Činjenica da se $b^{1}=b$ može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer, $(b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}$. Uzimanje kubnog korijena obje strane daje $b^{1}=b$.

Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti $b^{-1}$. Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da $b^{-1}\cdot b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1$. Dijeljenje obje strane sa $b^{1}$ daje $b^{-1}=1/b^{1}$, što se jednostavnije može napisati kao $b^{-1}=1/b$, koristeći rezultat odozgo da je $b^{1}=b$. Po sličnom argumentu, $b^{-n}=1/b^{n}$.

Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo ${\sqrt {b}}$ i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati $r$, tako da je $b^{r}=\ sqrt{b}$. Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je ${\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}=b$. Prema tome, eksponent $r$ mora biti takav da $b^{r}\cdot b^{r}=b$. Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje $b^{r+r}=b$. $b$ na desnoj strani se također može napisati kao $b^{1}$, dajući $b^{r+r}=b^{1}$ . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo $r+r=1$. Prema tome, $r={\frac {1}{2}}$, tako da ${\sqrt {b}}=b^{1/2}$.

Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili kompleksni eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.

Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarske nauke, sa aplikacijama kao što su složeni interes, rast populacije, kinetika hemijske reakcije, ponašanje talasa i kriptografija s javnim ključem.

Terminologija

Izraz b² = b · b naziva se "kvadrat od b ili b na kvadrat, jer je površina kvadrata sa dužinom stranice b b ².

Slično tome, izraz b³ = b · b · b naziva se "kub od b ili b kocka, jer je zapremina kocke sa bočnom dužinom b b³.

Kada je pozitivan cijeli broj, eksponent pokazuje koliko je kopija baze pomnoženo zajedno. Naprimjer, 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. Baza 3 se pojavljuje 5 puta u množenju, jer je eksponent 5. Ovde, 243 je 5. stepen od 3, ili 3 podignuto na 5. stepen.

Riječ "podignut" se obično izostavlja, a ponekad i "potencija", tako da se 3⁵ može jednostavno pročitati "3 na 5.", ili "3⁵." Stoga se eksponencijacija bⁿ može izraziti kao "b na stepen n", "' 'b' na n-tu potenciju, ''b na n-tu, ili najkraće kao b na n.

Formula sa ugniježđenom eksponencijacijom, kao što je 3⁵⁷ (što znači 3^{(57 sup>)} a ne (3⁵)⁷), naziva se potencija moći, ili jednostavno potdencija. Naprimjer, pisanje $b^{c^{d}}$ je ekvivalentno pisanju $b^{\left(c^{d}\right)}$. Ovo se može generalizirati na to gdje pisanje $b^{c^{d^{f}}}$ znači $b^{\left(c^{\left(d^{f}\right)}\right)}$. Naprimjer, ${\sqrt {100}}$ se može izračunati kao $100^{\frac {1}{2}}$, što se može izračunati kao $100^{2^{-1}}$, što je jednako $100^{\left(2^{-1}\right)}$, što je jednako 10..

Cjelobrojni eksponenti

Operacija eksponencijaliranja sa celobrojnim eksponentima može se definisati direktno iz elementarnih aritmetičkih operacija.

Pozitivni eksponenti

Definicija eksponencijacije kao ponavljanog množenja može se formalizirati korištenjem indukcije, a ova definicija se može koristiti čim se dobije asocijativnost množenja:

Osnovni slučaj je

$b^{1}=b$

a ponavljanje je

$b^{n+1}=b^{n}\cdot b.$

Asocijativnost množenja implicira da za bilo koje pozitivne cijele brojeve m i n,

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},$

i

$(b^{m})^{n}=b^{mn}.$

Nulti eksponent

Po definiciji, svaki broj različit od nule podignut na stepen 0 je 1:

$b^{0}=1.$

Ova definicija je jedina moguća koja dozvoljava proširenje formule:

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$

na nulte eksponente. Može se koristiti u svakoj algebarskoj strukturi sa množenjem koje ima identitet.

Intuitivno, $b^{0}$ se može protumačiti kao prazan proizvod kopija b. Dakle, jednakost $b^{0}=1$ je poseban slučaj opće konvencije za prazan proizvod.

Slučaj 0⁰ je komplikovaniji. U kontekstima u kojima se razmatraju samo cjelobrojne potencije, vrijednosti 1 se općenito dodjeljuje $0^{0},$, ali u suprotnom, izbor da li će joj se dodijeliti vrijednost i koju vrijednost dodjela može ovisiti o kontekstu. Za više detalja, pogledajte Nula na stepen nula.

Negativni eksponenti

Eksponencijacija sa negativnim eksponentima je definirana sljedećim identitetom, koji vrijedi za bilo koji cijeli broj n i različit od nule b:

$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$.

Povećanje 0 na negativan eksponent je nedefinisano, ali se u nekim okolnostima može tumačiti kao beskonačnost ($\infty$).

Ova definicija eksponencijalnosti sa negativnim eksponentima je jedina koja dozvoljava proširenje identiteta $b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}$ na negativne eksponente (razmotrite slučaj $m=-n$).

Ista definicija se odnosi na inverzibilni element u multiplikativnom monoidu, odnosno algebarskoj strukturi, sa asocijativnim množenjem i mulriplikativnim identitetom označenim kao 1 (naprimjer, date dimenzije kvadratne matrice). Konkretno, u takvoj strukturi, inverz od inverzibilnog elementa x standardno se označava $x^{-1}.$

Identiteti i svojstva

Slijedeći identiteti, koji se često nazivaju eksponentna pravila, važe za sve cjelobrojne eksponente, pod uslovom da je baza različita od nule:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$

Za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije komutativna. Naprimjer, 2³ = 8 ≠ 3² = 9. Također, za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije asocijativna. Naprimjer, (2³)² = 8² = 64, dok je 2⁽³²⁾ = 2⁹ = 512. Bez zagrada, konvencionijski redoslijed operacija za serijsku eksponencijaciju u superskriptnoj notaciji je odozgo prema dolje (ili desno asocijativno), a ne odozdo prema gore (ili lijevo-asocijativno).

To je,

$b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},$

što je, općenito, drfukčije od:

$\left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.$

Potencije zbira

Potencije sume se normalno mogu izračunati iz potencija sabiraka pomoću binomne formule

$(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.$

Međutim, ova formula je istinita samo ako se sabirci mijenjaju (tj. da ab = ba), što se podrazumijeva ako pripadaju strukturi to je komutativno. U suprotnom, ako su a i b, recimo, kvadratne matrice od same veličine, ova formula se ne može koristiti. Iz toga slijedi da se u kompjuterskoj algebri mnogi algoritami koji uključuju cjelobrojne eksponente moraju promijeniti kada se baze eksponencijacije ne mijenjaju. Neki sistemi kompjuterske algebre opće namjene koriste drugačiju notaciju (ponekad ^^ umjesto ^) za eksponencijaciju sa nekomutirajućim bazama, što se tada naziva ' nekomutativno eksponencijaliranje.

Kombinatorna interpretacija

Za nenegativne cijele brojeve n i m, vrijednost n^m je broj [ [funkcija (matematika)|funkcije]] iz skup od m elemenata u skupu n elemenata (pogledajte kardinalno eksponencijaliranje). Takve funkcije mogu biti predstavljene kao m-torke]] iz n-skupa elemenata (ili kao m-slovne riječi iz Šablon:Mvar-a-slovna abeceda). Neki primjeri za određene vrijednosti m i n dati su u sljedećoj tabeli:

nm	nm moguće m-torke elemenata iz skupa (1, ..., n)
05 = 0	none
14 = 1	(1, 1, 1, 1)
23 = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4	(1), (2), (3), (4)
50 = 1	()

Posebne baze

Potencije desetica

Također pogledajte: Naučna notacija

Glavni članak: Potencija od 10

U sistemu brojeva sa bazom deset (decimalni), cjelobrojne potencije 10 se zapisuju kao cifra 1 iza koje slijedi ili prethodi broj nula određenih predznakom i veličinom eksponenta. Naprimjer, 7000100000000000000♠10⁻⁴ = 7000100000000000000♠0,0001.

Eksponencijacija sa bazom 10 se koristi u naučnoj notaciji za označavanje velikih ili malih brojeva. Naprimjer, 7008299792458000000♠299.792.458 m/s (brzina svjetlosti u vakuumu, u metrima u sekundi) se može napisati kao 7008299792458000000♠2,99792458×10⁸ m/s, a zatim približno kao 7008299800000000000♠2,998×10⁸ m/s. SI prefiksi zasnovane na moćima 10 se također koriste za opisivanje malih ili velikih količina. Na primjer, prefiks kilo znači 7003100000000000000♠10³ = 7003100000000000000♠1.000, tako da je kilometar 7003100000000000000♠1.000 metri.

Potencije dvojke

Glavni članak: Potencija dvojke

Prve negativne potencije 2 se obično koriste i imaju posebne nazive, npr.: pola i četvrtina .

Moći 2 se pojavljuju u teoriji skupova, pošto skup sa n članovima ima power set, skup svih njegovih podskups, koji ima 2ⁿ članova.

Cjelobrojne moći 2 su važne u računarstvu. Pozitivni cijeli brojevi 2ⁿ daju broj mogućih vrijednosti za n-bit cijeli broj binarni broj; na primjer, byte može uzeti 2⁸ = 256 različite vrijednosti. binarni brojevni sistem izražava bilo koji broj kao zbir stepena 2, i označava ga kao niz 0 i 1, razdvojenih sa a binarna tačka, gde 1 označava stepen 2 koji se pojavljuje u zbiru; eksponent je određen mjestom ove 1: nenegativni eksponenti su rang 1 na lijevoj strani tačke (počevši od 0), a negativni eksponenti su određeni rangom s desne strane tačke.

Potenciranje jedan

Potencije 1 su jednake 1: 1ⁿ = 1. To je zato što

$$1^{n}=\underbrace {1\times 1\times \dots \times 1\times 1} _{n{\text{ times}}}$$

i $1\times 1=1$

Prvi stepen broja je sam broj: $n^{1}=n.$ Eksponent može biti vrlo velik, a izlaz je i dalje 1, naprimjer $1^{9^{9^{9^{9}}}}=1$. Ovo izračunavanje uzrokuje grešku prelivanja u računarima jer je broj $9^{9^{9^{9}}}$ izuzetno velik, a rezultat podizanja 1 na taj stepen je samo 1.

Potenciranje nule

Ako je eksponent n pozitivan (n > 0), n-ta potencija nule je nula: 0ⁿ = 0.

Ako je eksponent n negativan (n < 0), n-ti stepen nule 0 ⁿ je nedefiniran, jer mora biti jednak $1/0^{-n}$ sa −n > 0, a to bi bilo $1/0$ prema gore navedenom.

Izraz 0⁰ je ili definiran kao 1, ili je ostavljen nedefiniran.

Potencije negativne jedinice

Ako je n paran cijeli broj, tada je (−1)ⁿ = 1. To je zato što se negativan broj pomnožen sa drugim negativnim brojem poništava i daje pozitivan broj.

Ako je n neparan cijeli broj, tada je (−1)ⁿ = −1. To je zato što će postojati preostali (−1) nakon uklanjanja svih parova (−1).

Zbog toga su potencije −1 korisne za izražavanje naizmjeničnih sekvencija.

Potencije 3

Ternarna logika koristi bazu 3 kao alternativu bazi −2 za binarnu logiku, koju koriste svi savremeni računari. Postoje mnoge prednosti dizajniranja računara sa bazom 3 uključujući veću sigurnost.

Veliki eksponenti

Ograničenje niza stepena broja većeg od jedan se razilazi; drugim riječima, niz raste neograničeno:

bⁿ → ∞ kao n → ∞ kada je b > 1

Ovo se može pročitati kao "b na stepen n teži ka +∞ kao n teži beskonačnosti kada je b veće od 1". Potencije broja sa apsolutna vrijednost manjim od jedan teže nuli:

bⁿ → 0 kao n → ∞ kada je |' 'b| < 1

Svaka potencija 1 je uvijek 1:

bⁿ = 1 za sve n ako je b = 1

Potencije –1 se naizmjenično smjenjuju između 1 i –1 kao što se n mijenja između parnih i neparnih, i stoga ne teže bilo kojoj granici kako n raste.

Ako se b < –1, bⁿ mijenja između većih i većih pozitivnih i negativnih brojeva jer se n izmjenjuje između parnih i neparnih, i stoga ne teži bilo kakvom ograničenju kako n raste.

Ako eksponencirani broj varira dok teži ka 1 dok eksponent teži beskonačnosti, onda granica nije nužno jedna od onih iznad. Posebno važan slučaj je

(1 + 1/n)ⁿ → e kao n → ∞

Funkcije potencija

Potencija funkcije za $n=1,3,5$

Potencika funkcije za $n=2,4,6$

Realne funkcije oblika $f(x)=cx^{n}$, gdje je $c\neq 0$, ponekad se nazivaju funkcije potencije.<r ef>Hass, Joel R.; Heil, Christopher E.; Weir, Maurice D.; Thomas, George B. (2018). Thomas' Calculus (14 izd.). Pearson. str. 7–8. ISBN 9780134439020.</ref> Kada je $n$ integer i $n\geq 1$, postoje dvije primarne porodice: za $n$ čak i za $n$ neparan. Općenito za $c>0$, kada je $n$ paran $f(x)=cx^{n}$ težit će ka pozitivnoj beskonačnosti sa povećanjem $x$, kao i prema pozitivnoj beskonačnosti sa smanjenjem $x$. Svi grafikoni iz porodice parnih funkcija stepena imaju opći oblik $y=cx^{2}$, spljoštavajući se više u sredini kako se $n$ povećava. Funkcije sa ovom vrstom simetrija ($f(-x)=f(x)$) nazivaju se parne funkcije.

Kada je $n$ neparan, asimptotično ponašanje $f(x)$ se obrće s pozitivnog $x$ na negativno $x$ matematika>. Za $c>0$, $f(x)=cx^{n}$ će također težiti pozitivnom beskonačnost sa povećanjem $x$ math>, ali prema negativnoj beskonačnosti sa smanjenjem $x$. Svi grafikoni iz porodice funkcija neparnog stepena imaju opći oblik $y=cx^{3}$, spljoštavajući se više u sredini kako se $n$ povećava i gube svu ravnost u ravnini linija za $n=1$. Funkcije sa ovom vrstom simetrije ($f(-x)=-f(x)$) se nazivaju neparne funkcije.

Za $c<0$, suprotno asimptotsko ponašanje je istinito u svakom slučaju.

Potencije decimalnih brojeva

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729
4	16	64	256	1024
5	25	125	625	3125
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000

Također pogledajte

• Dvostruka eksponencijalna funkcija
• Eksponencijalno raspadanje
• Eksponencijalno polje
• Eksponencijalni rast
• Lista eksponencijalnih tema
• Modularna eksponencijacija
• Naučna notacija
• Unikodni subskripti i superskripti
• x^y = y^x
• Nula na stepen nule