Kvadratni korijen iz 5

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - ${\sqrt {2}}$ - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni	10,0011110001101111...
Decimalni	2,23606797749978969...
Heksadecimalni numerički sistem	2,3C6EF372FE94F82C...
Neprekidni razlomak	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}$

Kvadratni korjen od 5 je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje prosti broj 5. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za zlatni rez. Može se označiti u iracionalnom obliku kao:

{\sqrt {5}}.\,

On je iracionalni algebarski broj.^[1] Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog decimalnog proširenja su:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... (niz A002163 u OEIS)

što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.^[2]

Neprekidni razlomak

Ovaj broj može se izraziti kao neprekidni razlomak [2; 4, 4, 4, 4, 4...] (niz A040002 u OEIS) . Niz najboljih racionalnih aproksimacija je:

{\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots

Konvergenti neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz A001077 , a njihovi nazivnici niz A001076 . Ostali (neobojeni) članovi su polukonvergenti.

Babilonski metod

Kada se ${\sqrt {5}}$ izračnava preko Babilonskog metoda, počevši od r₀ = 2, te koristeći r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2, n-ti aproksimant r_n jednak je 2ⁿ-tom konvergentu konvergentnog niza:

{\frac {2}{1}}=2,0;\quad {\frac {9}{4}}=2,25;\quad {\frac {161}{72}}=2,23611\dots ;\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots

Ramanujanovi identiteti

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima Ramanujana, uključujući neprekidne razlomke.^[3]^[4]

Na primjer, imamo slučaj Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka:

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.

Također pogledajte

Reference

^ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
^ R. Nemiroff and J. Bonnell: Prvih milion decimala kvadratnog korjena od 5
^ Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 93 (2): 67--77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR 813071
^ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions at MathWorld

[1] Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.

[2] R. Nemiroff and J. Bonnell: Prvih milion decimala kvadratnog korjena od 5

[3] Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 93 (2): 67--77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR 813071

[4] Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions at MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]