Granična vrijednost niza

Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).

n	n sin(1/n)
1	0,841471
2	0,958851
...
10	0,998334
...
100	0,999983

Kako pozitivni cijeli broj n postaje veći i veći, vrijednost n sin(1/n) postaje proizvoljno bliska broju 1. Možemo reći da je "granična vrijednost niza n sin(1/n) jednaka 1."

Formalna definicija

• Za niz realnih brojeva $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$

Realan broj L naziva se granična vrijednost niza x_n, a piše se kao

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |x_n−L| < ε.

• Za niz tačaka $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ u metričnom prostoru M sa funkcijom udaljenosti d (takav da je poput niza racionalnih brojeva, realnih brojeva, kompleksnih brojva, tačaka u normiranom prostoru, i td.):

Za element $L\in M$ se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(x_n,L) < ε.

• Kao generalizacija, za niz tačaka $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ u topološkom prostoru T:

Za element $L\in T\;$ se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je $x_{n}\in S\;$ za sve $n>N.\;$

Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).

Nulti niz je niz koji konvergira u 0.

Primjeri

• Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
• niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
• Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz aⁿ ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a^1/n ima graničnu vrijednost 1.

Također:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ ako je }}p>0$

$\lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{ ako je }}|a|<1$
$\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1$
$\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ ako je }}a>0$

Također pogledajte

• Granična vrijednost funkcije
• Načini konvergencije

Vanjski linkovi

• Examples of sequences
• A history of the calculus, including limits