Kvadratni korijen iz 2

Kvadratni korijen od 2, poznat i po nazivom Pitagorina konstanta, je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje broj 2.

Kvadratni korijen od 2 jednak je dužini hipotenuze pravouglog trougla sa dužinama kateta 1.

Geometrijski, kvadratni korijen iz 2 je dužina dijagonale jediničnog kvadrata što slijedi iz Pitagorine teoreme. Pretpostavlja se da je vrijednost kvadratnog korijena iz 2 prvi iracionalanni broj. Njegova numerička vrijednost aproksimira se na 65 decimalnih mjesta (niz A002193 u OEIS) je:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799...

Kvadratni korijen od 2 se često označava sa

${\sqrt {2}}$   ili   √2

ali može se pisati i kao

$2^{1/2}.\,$

Na kalkulatorima bez funkcije kvadratnog korijena, može se koristiti brza aproksimacija ${\tfrac {99}{70}}$ za kvadratni korijen. Iako u nazivniku imamo vrijednost 70, vrijednost koju dobijemo od tačne vrijednosti razlikuje se za manje od 1/10 000.

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - ${\sqrt {2}}$ - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni	1.0110101000001001111...
Decinalni	1.4142135623730950488...
Heksadecimalni	1.6A09E667F3BCC908B2F...
Neprekidni razlomak	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$

Osobine kvadratnog korijena od dva

Jedna polovina od √2, približno 0,70710 67811 86548, je česta veličina u geometriji i trigonometriji zato što jedinični vektor koji čini ugao od 45° sa osama u ravni ima koordinate

$\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right).$

Ovaj broj zadovoljava

${\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).$

Jedna interesantna osobina kvadratnog korijena od dva glasi:

$\!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1.$

Ovo je rezultat osobine srebrenog reza.

Druga interesantna osobina kvadratnog korijena od dva je:

${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2\cdots }}}}}}=2.$

Kvadratni korijen od dva može se, također, izraziti preko imaginarne jedinice i koristeći samo kvadratni korijen i aritmetičke operacije:

${\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}$ i ${\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.$

Kvadratni korijen od dva je, također, jedini realan broj čiji je beskonačni tetrat jednak njegovom kvadratu.

${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2$

Također pogledajte

• Kvadratni korijen od 3
• Kvadratni korijen od 5
• Srebreni rez, 1 + √2

Reference

• Apostol, Tom M. (novembar 2000). "Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof". The American Mathematical Monthly. 107 (9): 841–842. doi:10.2307/2695741. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Flannery, David (2005). The Square Root of Two. Springer. ISBN 0-387-20220-X. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Fowler, David; Eleanor Robson (novembar 1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context" (PDF). Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. doi:10.1006/hmat.1998.2209. Arhivirano s originala (PDF), 3. 9. 2006. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of ${\sqrt {2}}$.
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra
• Eric W. Weisstein, Kvadratni korijen iz 2 na MathWorld-u.

Vanjski linkovi

• The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
• Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• √2.net Arhivirano 30. 6. 2021. na Wayback Machine, enthusiast site with realtime computation