Otvori glavni meni

Neprekidna funkcija

Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Neprekidnost funkcijaUredi

Neprekidne funkcije predstavljaju jednu od najvažnijih klasa funkcija koje se proučavaju u različitim matematičkim disciplinama. Za neku funkciju   kažemo da je neprekidna u nekoj tački   ako funkcija uopšte posjeduje vrijednost u toj tački, te ako se njena vrijednost kada se sa lijeva ili desna približavamo posmatranoj tački također približava njenoj vrijednosti u posmatranoj tački. Za funkciju koja nije neprekidna u nekoj tački kažemo da je prekidna u toj tački, odnosno da ima prekid u posmatranoj tački.

Radi lakšeg opisivanja ponašanja (svojstava) neke funkcije, u praksi je od velikom značaja tzv. grafik funkcije, tj. grafički prikaz skupa vrijednosti posmatrane funkcije nad nekim podskupom njenog domena. Pojednostavljeno gledajući, za funkciju možemo reći da je neprekidna ako njen grafik možemo nacrtati bez da vrh olovke odvojimo od papira. No, ovo je veoma daleko od formalne definicije neprekidne funkcije, iz čistog razloga što se pojam "crtanja bez odvajanja od papira" ne može matematički predstaviti.

Današnju formalnu definiciju neprekidne funkcije dao je Karl Weierstraß krajem 19. vijeka.

Neprekidnost funkcije u tačkiUredi

U upotrebi je nekolicina različitih, ali ekvivalentnih definicija neprekidnosti funkcije u tački

  • Za funkciju   definisanu u nekoj okolini tačke   kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački   ako je
Pomakni u desno:
 
  • Za funkciju   definisanu u nekoj okolini tačke   kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački   ako za dato   postoji broj   takav da za sve   za koje je   vrijedi:
 
  • Za funkciju   definisanu u nekoj okolini tačke   kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački   ako je
 

Razliku   nazivamo priraštaj nezavisne promjenljive i označavamo sa  , dok razliku   nazivamo priraštaj zavisno promjenljive i označavamo sa  .

  • Za funkciju   definisanu u nekoj okolini   tačke   kažemo da je neprekidna s desna tački   ako je
 
  • Za funkciju   definisanu u nekoj okolini   tačke   kažemo da je neprekidna s lijeva tački   ako je
 
  • Za funkciju   definisanu u nekoj okolini tačke   kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački   ako je neprekidna s desna i neprekidna s lijeva u tački  
  • Tačka gomilanja   u kojoj funkcija   nije neprekidna naziva se tačka prekida (diskontinuiteta) funkcije  . Tačka   postaje tačka prekida funkcije  , ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
  1. Funkcija   nije definisana u tački  
  2. Barem jedna od graničnih vrijednosti  ,   ne postoji. Tačku prekida   funkcije   za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida druge vrste.
  3. Postoje granične vrijednosti  ,  , ali je barem jedna od njih različita od vrijednosti funkcije   u tački  , tj.  . Tačku prekida   funkcije   za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida prve vrste.
  4. Ako postoje granične vrijednosti  ,   i  , ali funkcija   nije definisana u tački  , onda funkciju   možemo proširiti stavljajući   tako da nova funkcija postane neprekidna u tački  . Ovakvu tačku   nazivamo tačkom otklonjivog prekida.
  • Ako su funkcije   i   neprekidne u tački  , onda su i funkcije  ,   neprekidne u tački  . Ako je  , onda je i funkcija   neprekidna u tački  .
  • Ako je   neprekidna funkcija u tački  , a   neprekidna funkcija u tački  , onda je složena funkcija   neprekidna u tački  .

Primjeri funkcija sa različitim vrstama tačaka prekidaUredi

  • Funkcija zadana sa  , ima prekid u tački  . Tačka   predstavlja prekid druge vrste za ovu funkciju.

 

Obratite pažnju da je neprekidnost lokalno svojstvo i ispituje se samo na tačkama domena funkcije. Da je gornja funkcija bila definisina samo sa   onda ne bi bilo moguće ispitivati neprekidnost funkcije u tački 0 jer tu funkcija nije definisana (deljenje sa 0) što znači da je funkcija   neprekidna. To jest ona je neprekidna na svom domenu

  • Funkcija zadana sa   ima prekid druge vrste u tački  . Ovo je primjer funkcije koja je neprekidna s lijeva ali nije neprekidna s desna.

 

  • Funkcija zadana sa   posjeduje istovremeno prekid prve vrste (u tački  ) i prekid druge vrste (u tački  ).

 

  • Funkcija zadana sa   posjeduje otklonjiv prekid u tački  .

Neprekidnost funkcija na zatvorenom intervaluUredi

Za funkciju   definisanu na nekom intervalu ili uniji intervala   kažemo da je neprekidna na   ako je neprekidna u svakoj tački  .

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu  , ona je na tom intervalu i ograničena, te na tom intervalu poprima svoju najmanju i najveću vrijednost.

Uniformna neprekidnost funkcijaUredi

Za funkciju   definisanu na nekom intervalu   kažemo da je uniformno neprekidna na tom intervalu, ako za svako   postoji   takvo da za sve parove tačaka   za koje je   vrijedi  .

Ako je funkcija   uniformno neprekidna na nekom intervalu, ona je očigledno i neprekidna na tom intervalu. Dakle, klasa uniformno neprekidnih funkcija je potskup klase neprekidnih funkcija. U slučaju zatvorenog intervala   ove dvije klase se poklapaju, tj. svaka neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom   je ujedno i uniformno neprekidna nad ovim intervalom. U slučaju otvorenih intervala, ovo ne vrijedi. Npr. funkcija   je neprekidna na otvorenom intervalu  , ali nije uniformno neprekidna na ovom intervalu.

Također pogledajteUredi