Zakon idealnog plina

Idealni gasni zakon je jednačina stanja hipotetskog idealnog gasa. Dobra je aproksimacija ponašanja mnogih gasova pod različitim uvjetima, iako ima nekoliko ograničenja. Prvi put ga je deklarisao Emile Clapeyron 1834. godine, kao kombinaciju Boyle-Mariotteovog zakona, Charlesovog zakona i Avogadrovog zakona. Idealni gasni zakon se često piše kao:

Izoterma idealnog gasa. Krive linije prikazuju vezu između pritiska (na vertikali, y-osa) i volumena (na horizontali, x-osa) za idealni gas na različitim temperaturama: linije koje su dalje od koordinatnog početka (tj. linije koju se bliže vrhu desnog ugla dijagrama) predstavljaju više temperature.

$PV=nRT\,$

gdje:

• P je pritisak gasa
• V je zapremina gasa
• n je količina tvari gasa (u molovima)
• R je idealna, ili univerzalna plinska konstanta, jednaka proizvodu Boltzmannove konstante i Avogadrove konstante.
• T je temperatura gasa.

Također se može izvesti mikroskopski iz kinetičke teorije, kao što je postigao (navodno nezavisno) August Krönig 1856. godine i Rudolfa Clausiusa 1857. godine.

Jednačina

Stanje količine gasa je određeno njegovim pritiskom, volumenom i temperaturom. Moderni oblik jednačine jednostavno povezuje ove veličine u dva osnovna oblika. Temperatura korištena u jednačini stanja je apsolutna temperatura: u SI sistemu mjernih jedinica, izražena u Kelvinima.

Opći oblik

Najčešće korišten oblik je

$PV=nRT\,$

gdje

• P je pritisak gasa
• V je zapremina gasa
• n je količina tvari gasa (u molovima)
• R je idealna, ili univerzalna, gasna konstanta, jednaka proizvodu Boltzmannove konstante i Avogadrove konstante.
• T je Temperatura gasa

U SI jedinicama, P se mjeri u paskalima, V se mjeri u kubnim metrima, n se mjeri u molovima, i T u Kelvinima. R ima vrijednost 8,314 J/K·mol ili 0.08206 L·atm/ mol·K.

Molarni oblik

Koliko je gasa prisutno se može specifirati dajući masu umjesto hemijske količine tvari gasa. Zato, alternativni oblik idealnog gasnog zakona ima svoju primjenu. Hemijska količina (n (u molovima)) je jednaka masi (m (u gramima)) podijeljenoj sa molarnom masom (M (u gramima po molu)):

$n={\frac {m}{M}}$

Zamijenjujući n sa m/M, i uvodeći gustoću ρ = m/V, dobija se:

$\ PV={\frac {m}{M}}RT$

$\ P=\rho {\frac {R}{M}}T$

Definišući specifičnu gasnu konstantu R_specific kao omjer R/M,

$\ P=\rho R_{\rm {specific}}T$

Ovaj oblik idealnog gasnog zakona je veoma koristan zato što povezuje pritisak, gustoću, i temperaturu u jedinstvenoj formuli nezavisnoj od količine gasa koji se posmatra. Alternativno, zakon se može napisati koristeći i specifičnu zapreminu v, recipročnu vrijednost gustoće, kao

$\ Pv=R_{\rm {specific}}T$

Često je, pogotovo u inžinjerskim primjenama, predstavljati specifičnu gasnu konstantu simbolom R. U tim slučajevima, univerzalnoj gasnoj konstanti se obično daje drugi simbol da se razlikuje. U svakom slučaju, kontekst i/ili jedinice gasne konstante bi trebali da pojasne da li je riječ o specifičnoj ili univerzalnoj gasnoj konstanti u jednačini.

Statistička mehanika

U statističkoj mehanici, slijedeća molekularna jednačina se izvodi iz prvih principa:

$\ PV=Nk_{B}T$

gdje je P apsolutni pritisak gasa izmjeren u paskalima; N je broj molekula u zadanoj zapremini V. kb je Boltzmannova konstanta koja povezuje temperaturu i energiju; i T je apsolutna temperatura izražena u Kelvinima.

Primjena u termodinamičkim procesima

Tabela ispod pojednostavljuje idealnu gasnu jednačinu za određene termodinamičke procese, čineći ovu jednačinu jednostavniju za riješavati koristeći numeričke metode.

Termodinamički proces se definiše kao sistem koji se kreće od stanja 1 do stanja 2, gdje je broj stanja obilježen u indeksu. Kao što je naznačenu u prvom stubu tabele, osnovni termodinamički procesi se definišu tako da je jedna od fizičkih veličina gasa (P, V, T, ili S) konstantna tokom procesa.

Za dati termodinamički proces, radi specifiranja tipa određenog procesa, jedan od omjera veličina gasa (omjeri navedeni u tabeli, pod stubom označenom kao "poznati omjeri") mora biti određen (direktno ili indirektno). Također, veličina za koju je omjer poznat mora se razlikovati od veličine koja je bila poznata u prethodnom stubu ( inače bi omjer bio 1, i ne bi bilo dovoljno informacija da se pojednostavi jednačina).

U tri zadnja stuba, veličine (P, V, ili T) u stanju 2 mogu se izračunati iz veličina u stanju 1 korištenjem navedenih jednačina.

Proces	Konstantna veličina	Poznati omjer	P2	V2	T2
Izobarni proces	Pritisak	V2/V1	P2 = P1	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1(V2/V1)
		T2/T1	P2 = P1	V2 = V1(T2/T1)	T2 = T1(T2/T1)
Izohorni proces (Izovolumetrični proces) (Izometrični proces)	Volumen	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1	T2 = T1(P2/P1)
		T2/T1	P2 = P1(T2/T1)	V2 = V1	T2 = T1(T2/T1)
Izotermni proces	Temperatura	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1/(P2/P1)	T2 = T1
		V2/V1	P2 = P1/(V2/V1)	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1
Isentropic process (Reversible adiabatic process)	Entropija	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1(P2/P1)(−1/γ)	T2 = T1(P2/P1)(γ − 1)/γ
		V2/V1	P2 = P1(V2/V1)−γ	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1(V2/V1)(1 − γ)
		T2/T1	P2 = P1(T2/T1)γ/(γ − 1)	V2 = V1(T2/T1)1/(1 − γ)	T2 = T1(T2/T1)
Politropični proces	P Vn	P2/P1	P2 = P1(P2/P1)	V2 = V1(P2/P1)(-1/n)	T2 = T1(P2/P1)(n - 1)/n
		V2/V1	P2 = P1(V2/V1)−n	V2 = V1(V2/V1)	T2 = T1(V2/V1)(1−n)
		T2/T1	P2 = P1(T2/T1)n/(n − 1)	V2 = V1(T2/T1)1/(1 − n)	T2 = T1(T2/T1)

^{^} a. In an isentropic process, system entropy (S) is constant. Under these conditions, P₁ V₁^γ = P₂ V₂^γ, where γ is defined as the heat capacity ratio, which is constant for a calorifically perfect gas. The value used for γ is typically 1.4 for diatomic gases like nitrogen (N₂) and oxygen (O₂), (and air, which is 99% diatomic). Also γ is typically 1.6 for monatomic gases like the noble gases helium (He), and argon (Ar). In internal combustion engines γ varies between 1.35 and 1.15, depending on constitution gases and temperature.

Odstupanja stvarnih gasova od idealnog ponašanja

Jednačina stanja data ovdje se primjenjuje samo na idealni gas, ili kao aproksimacija za stvarni gas koji se ponaša dovoljno slično idealnom gasu. Ustvari postoji mnogo različitih oblika jednačine stanja. Zato što idealni gas zanemaruje i molekularnu veličinu i privlačenja među molekulama, najprecizniji je za monoatomske gasove na visokim temperaturama i niskim pritiscima. Zanemarivanje molekularne veličine postaje nebitnije za manje gustoće, npr. za velike volumene pri niskim pritiscima, zato što prosječna udaljenost između susjednih molekula postaje mnogo veća od molekularne veličine. Relativna važnost intermolekularnih privlačenja nestaje sa povećanjem toplotne kinetičke energije, npr. sa povećanjem temperature. Detaljnije jednačine stanja, poput van der Waalsove jednačine, uzimaju u obzir odstupanja od ideala koje uzrokuju molekularna veličina i intermolekularne sile.

Izvodi

Empirički

Idealni gasni zakon se može izvesti kombinacijom dva emiprička gasna zakona: kombinirano gasnog zakona i Avogadrovog zakona. Kombinirani gasni zakon glasi

${\frac {PV}{T}}=C$

Gdje je C konstanta koja je direktno proporcionalna količini tvari gasa, n (Avogadrov zakon). Faktor proporcionalnosti je univerzalna gasna konstanta, R, npr. C=nR.

Iz toga slijedi

$PV=nRT\,$

Teoretski

Kinetička teorija

Idealni gasni zakon se također može dobiti iz prvih principa koristeći kinetičku teoriju gasova, u kojoj nekoliko pojednostavljujućih pretpostavki se donosi, prvenstveno da su momlekule, ili atomi gasa tačkaste mase, koje posjeduju masu ali ne značajne zapremine, i podilaze samo elastične sudare međusobno i sa stranama spremnika. U kolizijama je očuvan i linearni momentum i energija.

Statistička mehanika

Ako q = (q_x, q_y, q_z) i p = (p_x, p_y, p_z) obilježavaju radijus-vektor i vektor momentuma čestice idealnog gasa, respektivno. Neka F označava ukupnu silu na tu česticu. Onda je prosječna potencijalna energija čestice:

${\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}$

gdje je prva jednakost Njutnov drugi zakon, a druga linija koristi Hamiltonove jednačine i teoremu ekviparticije. Sumiranje preko sistema od N čestica daje

$3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }.$

Po Njutnovom trećem zakonu i pretpostavci idealnog gasa, ukupna sila sistema je sila koju vrše zidovi spremnika u kojem je gas. Ova sila je data pritiskom P gasa. Slijedi

$-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} ,$

gdje je dS infinitezimalni element površine zidova spremnika. Zato što je divergencija radijus-vektora q

$\nabla \cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,$

teorija divergencije implicira da

$P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} =P\int _{\mathrm {volume} }\left(\nabla \cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,$

gdje je dV infinitezimalni volumen unutar spremnika i V je ukupni volumen spremnika.

Uvrštavanjem jedne od ovih jednačina u drugu se dobija

$3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,$

što implicira da je idealni gasni zakon za gas sa N čestica:

$PV=Nk_{B}T=nRT,\,$

Također pogledajte

• Boltzmannova konstanta
• Unutrašnja energija