Višestruki integral

Višestruki integral je vrsta određenog integrala za funkcije sa više od jedne realne varijable, naprimjer, $f(x,y)$ ili $f(x,y,z)$.

Integral kao površina između dvije krive.

Dvostruki integral kao zapremina ispod površine. Pravougli region na dnu tijela je domen integracije, dok je površina grafik funkcije sa dvije promjenljive koja se integrali.

Uvod

Baš kao što određeni integral pozitivne funkcije sa jednom varijablom predstavlja površinu u području između grafa funkcije i x-ose, dvostruki integral pozitivne funkcije dviju varijabli predstavlja zapreminu u područje između površine definisane funkcije i ravnine koja sadrži njihove domene. (Imajte na umu da se ista zapremina može dobiti preko trostrukog integrala - integral funkcije u tri varijable - konstantne funkcije f od ( x, y , z) = 1 preko spomenutog područja između površine i ravnine.) Ako postoji više varijabli, višestruki integral će dati hyper-zapreminu i višedimenzionalnu funkciju. Višestruka integracija funkcija u $\;n$ variablama: $\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ preko domena $\;D$ najčešće predstavlja postavljanje integralnih znakova u obrnutom redoslijedu rješavanja (krajnji lijevi integralni znak se izračunava zadnji) nastavljajući po funkciji i integrand argumentimaa u pravilnom redoslijedu (krajnji desni argument se izračunava zadnji). Domena integracije ili je zastupljena simbolično za svaki integrand preko svakog integralnog znaka, ili je često skraćena od strane varijable na krajnjem desnom integralnom znaku:

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

Budući da je nemoguće izračunati antiderivative od funkcija sa više od jedne varijable, neodređeni višestruki integrali ne postoje. Zbog toga su svi višestruki integrali određeni integrali.

Primjeri

Na primjer, zapremina paralelopipeda stranica 4×6×5 može se izračunati na dva načina:

• Dvostrukim integralom

$\iint _{D}5\ dx\,dy$

funkcije f(x, y) = 5 izračunatu u oblasti D u xy-ravni koja predstavlja bazu paralelopipeda.

• Trostrukim integralom

$\iiint _{\mathrm {paralelopiped} }1\,dx\,dy\,dz$

konstantne funkcije 1 izračunate na paralelopipedu.

Matematička definicija

Neka je n cijeli broj veći od 1. Uzmimo takozvani poluotvoreni n-dimenzionalni pravougaonik (nazovimo ga jednostavno pravougaonik). Za ravan, N = 2, i višestruki integral je samo dvostruki integral.

$T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}.$

Podijelimo svaki interval $[a_{i},b_{i})$ na određeni broj nepreklapajućih podintervala, sa svakim podintervalom zatvorenom na lijevom kraju, i otvorenom na desnom kraju. Označimo takve podintervale sa $I_{i}.$ Zatim, porodicu subrectangles u obliku

$C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

je particija od $T,$ što daje subrectangles $C$ koji su ne-preklapajući i njihova unija je $T.$.

Diameter subrectangle $C$ su po definiciji najveće dužine intervala čiji proizvod je $C,$ u diametru date particije od $T$ su definisane kao najveći diametri subrectangles u particiji.

Neka je $f:T\to \mathbb {R}$ funkcija definisana pravougaonikom $T.$ Razmotrimo particiju

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

od $T$ definisanom iznad, gdje je $m$ pozitivni integer. Riemannov zbir je zbir od oblika

$\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

gdje za svaku $k$ tačku $P_{k}$ je u $C_{k},$ i $\operatorname {m} (C_{k})$ je proizvod dužina intervala čiji Kartezijev proizvod je $C_{k}.$

Funkcija $f$ je Riemann integrabilna ako je granica

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})$

postoji, gdje je granica preuzela sve particije od $T$ od diametra najviše $\delta .$ Ako je $f$ Riemann integrabilna, $S$ se zove Riemann integral od $f$ nad $T,$ i označava se

$\int _{T}\!f(x)\,dx.$

Riemann integral funkcije definisane nad proizvoljno omeđenom $n$-dimenzionalnom postavkom se može definisati proširivanjem te funkcije na funkciju definisanu preko poluotvorenog pravoganika čije vrijednosti su nula izvan domena izvorne funkcije. Zatim, integral izvorne funkcije preko izvornog domena definiše se kao integral proširene funkcije nad njegovim pravougaonim domenom, ako postoji. Ono što slijedi Riemannov integral u n dimenzijama će se zvati višestruki integral.

Osobine

Višestruki integrali imaju mnoge iste osobine integrala funkcija sa jednom varijablom (linearnost, aditivnost, monotonicity, itd.). Čak šta više, baš kao što je u jednoj varijabli, može se koristiti višestruki integral da se pronađe prosjek funkcije u datoj postavci. Još preciznije, data postavka $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ i integrabilna funkcija $f$ nad $D$, prosječna vrijednost od $f$ nad njenim domenom je data

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,$

gdje je $\;m(D)$ mjera od $\;D$.

Posebni slučajevi

U slučaju $T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ integral

$\ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy$

je dvostruki integral od F na T, i ako $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ integral

$\ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

je trostruki integral od F na T.

Onda, prema uobičajenom načinu obilježavanja u matematici, dvostruki integral ima dva integralna znaka, a trostruki integral ima tri, a to je samo zbog praktičnosti u označavanju, a zgodno je prilikom računanja višestrukih integrala kao ponovljenog integrala (kao što je prikazano u nastavku članka).

Metode integracije

Rješavanje problema s višestrukim integralima sastoji se (u većini slučajeva) u pronalaženju načina da se višestruki integral smanji u nizove integrala sa jednom varijablom, gdje je svaki pojedinačno i direktno rješiv.

Direktno izračunavanje

Ponekad je moguće odrediti rezultat integracije bez ikakvih proračuna.

Konstante

U slučaju konstantne funkcije, rezultat je jednostavan: jednostavno pomnožite mjeru stalnom funkcijom c. Ako je c = 1, te je integriran preko podregije od R² to daje prostor u regiji, dok je u R³ to je volumen regije.

• Naprimjer:

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}$ and $f(x,y)=2\,\!$

Integrirajmo f od D:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12.$

Korištenje mogućih simetričnosti

U slučaju domena gdje postoji simetrija poštujući barem jednu od osa i gdje funkcija ima barem jedan paritet u odnosu na varijable, integral postaje ništavan (zbir suprotnih i jednakih vrijednosti je nula). Dovoljno je da je-u funkcijama na Rⁿ - zavisna varijabla nije jednaka sa osama simetrije.

• Primjer (1):

S obzirom da je $f(x,y)=2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5$ i $T=x^{2}+y^{2}\leq 1$ je integralno područje (disk sa radiusom 1 u središtu presjeka osa, granica uključena).

Korištenjem svojstva linearnosti, integral se može rastaviti u tri dijela:

$\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint _{T}2\ \sin(x)\ dx\,dy-\iint _{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint _{T}5\ dx\ dy$

2 sin(x) and 3y³ su obje neparne funkcije i štoviše očito je da T disk ima simetriju za x, pa čak i y osu, dakle jedini doprinos konačnom rezultatu integrala je ta od stalne funkcije 5, jer su ostala dva komada nula.

• Primjer (2):

Razmotrimo funkciju $f(x,y,z)=x\ e^{y^{2}+z^{2}}$ i - kao integraciono područje - sfera sa radiusom 2 i središtem u presjeku osa $T=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$. "Lopta" je simetrična oko sve tri ose, ali to je dovoljno da se integriraju s obzirom na ' x-osu da pokaže da je integral 0, jer je funkcija neparna funkcija te varijable.

Formule redukcije (smanjenja)

Formule smanjenja koriste koncept jednostavne domene da omogući raščlanjivanje višestrukog integrala kao proizvoda drugih jednovarijabilnih integrala. Ovi se moraju riješiti s desna na lijevo s obzirom na druge varijable kao konstante (što je isti postupak kao pri računanju parcijalne derivacije s).

Normalne domene na R²

x-osa

Ako je D mjerljiv domen okomit na x-osu i $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ je kontinuirana funkcija; onda su α(x) i β(x) (definisane u [a,b] intervalu) dvije funkcije koje određuju D. Onda je:

$\iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.$

y-osa

Ako je D mjerljiv domen okomit na y-osu i $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ je kontinuirana funkcija; onda su α(y) i β(y) (definisani u [a,b] intervalu) su dvije funlcije koje određuju D. Onda je:

$\iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.$

Primjer: D područje za integral po formulama redukcije.

Primjer

Razmotrimo ovo područje: $D=\{(x,y)\ :\ x=0,y=1,y=x^{2}\}$ (pogledati grafik primjera). Izračunaj

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.$

Ovaj domen je okomit na obje x i y ose.Za primjenu formule moramo pronaći funkcije koje određuju D, i njegovu interval definiciju.

U ovom slučaju dvije funkcije su:

$\alpha (x)=x^{2}\,\!$ and $\beta (x)=1\,\!$

dok je interval dobijen iz ukrštanja funkcija sa $x=0\,\!$, tako da je interval $[a,b]=[0,1]\,\!$ (normalitet u odnosu na x-osu je izabrana zbog boljeg vizualnog razumijevanja).

Sad je moguće primijeniti formule:

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}$

(Prvo se izračunava drugi integral uzimajući x kao konstantu). Preostale operacije se sastoje od primjenjivanja osnovnih tehnika integracije:

$\int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.$

Ako izaberemo normalitet u odnosu na y-osu možemo izračunati

$\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.$

i dobiti istu vrijednost.

Primjer normalnog domena u R3 (xy-ravni).

Normalne domene na R³

Proširenje ovih formula na trostruke integrale bi trebalo biti očigledna: T je domen okomit na xy-ravan u odnosu na α (x,y,z) i β(x,y,z) funkcije. Onda je:

$\iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}dx\,dy\int _{\alpha (x,y,z)}^{\beta (x,y,z)}f(x,y,z)\,dz$

(ova definicija je ista za ostalih 5 slučajeva normaliteta na R³).

Promjena varijabli

Granice integracije često nisu lahko zamjenljive (bez normaliteta ili sa složenim formulama da se integriraju), možemo uraditi promjenu varijabli i prepisati integral u "boljem" području, što može biti opisano u jednostavnijim formulama. Da bismo to učinili, funkcija mora biti prilagođena novim koordinatama.

Primjer (1-a):

Funkcija je $f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}$;

ako usvojimo ovu zamjenu $x'=x-1,\ y'=y\,\!$ onda je $x=x'+1,\ y=y'\,\!$

dobijamo novu funkciju $f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}$.

• Slično za domen jer je omeđen izvornim varijablama koje su pretvorene prije u ( x i y primjeru).
• diferencijali dx i dy transformirani preko matrice Jacobijeve determinante sadrži parcijalne derivacije transformacija u odnosu na novu varijablu (uzeti u obzir kao primjer, diferencijalnu transformaciju u polarnim koordinatama).

Postoje tri glavne "vrste" promjena varijabli (jedna u R², druga u R³); međutim, pogodna zamjena se može naći pomoću istog principa na uopćeniji način.

Polarne koordinate

Glavni članak: Polarni koordinatni sistem

Promjena od kartezijeve ka polarnim koordinatama.

U R² ako domen ima kružnu "simetriju", a funkcija ima neke "posebne" karakteristike možemo primijeniti transformaciju na polarnim koordinatama (vidi primjer na slici), što znači da tačke P (x, y) u Kartezijevim koordinatama prebacimo na njihova mjesta u polarnim koordinatama. To omogućuje da promijenimo "oblik" u domenu i pojednostavimo operacije.

Temeljni odnos da bi uradili transformaciju je sljedeći:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ).$

Primjer (2-a):

Funkcija je $f(x,y)=x+y\,\!$

i primjenom transformacije dobivamo

$f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).$

Primjer (2-b):

Funkcija je $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!$

U ovom slučaju imamo:

$f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!$

koristeći Pitagorin trigonometrijski identitet (veoma koristan u pojednostavljivanju ove operacije).

Promjena domena je urađena kroz definisanje glavne dužine radijusa i amplitude opisanog ugla da bi definisali ρ, φ intervale počevši od x, y.

Primjer promjene domena od kartezijevog ka polarnom.

Primjer (2-c):

Domen je $D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!$, da je opseg radijusa 2, očito je da je pokriveni ugao kružni ugao, tako da φ varira od 0 do 2π, dok glavni radijus varira 0-2 (kruna s unutrašnjim radijusom nula je samo krug).

Primjer (2-d):

Domen je $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}$, da je kružna kruna u pozitivnom dijelu y poluravnine (pogledajte sliku u primjeru); napomena da φ opisuje ugao ravnine dok ρ varira dva-tri. Stoga promjena domena će biti sljedeći pravougaonik:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}$.

Jakobova determinanta ove transformacije je sljedeća:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho$

koji je dobijen umetanjem parcijalne derivacije x = ρ cos (φ), y = ρ sin (φ) u prvom reduu u odnosu na ρ i u drugom u odnosu na φ, tako da dx dy diferencijacije u ovoj transformaciji postaje ρ d ρ d φ.

Nakon što se funkcija transformira i domen vrednuje, moguće je definisati formulu za promjenu varijabli u polarnim koordinatama:

$\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .$

Trebamo imati na umu da φ vrijedi u [0, 2π] intervalu, dok ρ, jer je to mjera dužine, može imati samo pozitivne vrijednosti.

Primjer (2-e):

Funkcija je $f(x,y)=x\,\!$.

i pošto je domen isti kao u 2-D primjeru.

Iz prethodne analize D znamo intervale od ρ (2 do 3) i φ (od 0 do π). Sada ćemo promijeniti funkciju:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi .$

napokon primjenjujemo formulu integracije:

$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,d\rho \,d\phi .$

Nakon što su intervali poznati, imamo

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.$

Cilindrične koordinate

Cilindrične koordinate.

U R³ integracija na domenima s kružnom osnovom može se uraditi prolazom u cilindričnim koordinatama; transformacija funkcije je napravljen prema sljedećem odnosu:

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)$

Transformacija domene se može grafički postići, jer samo oblik baze varira, a visina slijedi oblik početne regije. Example (3-a):

Region je $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}$ (to je "cijev" čija je osnovica kružna kruna 2-d primjer i čija visina je 5), ako je transformacija primjenjena, ovo područje se dobiva: $T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$ (to je paralelopiped čija osnova je pravougaonik u 2-d primjer i čija visina je 5).

Zbog toga što se z komponenta ne mijenja tokom transformacije, i dx dy dz diferencijali se razlikuju kao u prolazu u polarnim koordinatama: dakle, oni postajuρ dρ dφ dz.

Konačno, moguće je primijeniti završnu formulu u cilindričnim koordinatama:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz.$

Ova metoda je prikladna kod cilindričnih ili konusnih domena ili u područjima gdje je lahko izdvojiti z interval, pa čak i transformisati kružnu osnovicu i funkciju Primjer (3-b):

Funkcija je $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!$ i kao domen integracije ovog cilindra: $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}$.

Transformacija D u cilindričnim koordinatama je sljedeća:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.$

dok funkcija postaje

$f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!$

Konačno možemo primijeniti formulu integracije:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz;$

razvijajući formulu koju imamo

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz$

$=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =855\pi .$

Sferne koordinate

Sferne koordinate.

U R³ neke domene imaju sfernu simetriju, tako da je moguće odrediti koordinate svake tačke integracije regije dva ugla i jedne udaljenosti. Te je stoga moguće koristiti prolaz u sferne koordinate; funkcija je promijenjena ovim odnosom:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!$

Imajmo na umu da tačke na z osi nemaju preciznu karakterizaciju u sfernim koordinatama, tako$\phi$ može varirati između 0 i π .

Očigledno je da je sfera bolji domen integracije za ovaj prolaz.

Primjer (4-a):

Domen je $D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16$ (sfera sa radijusom 4 i centrom u osnovici); uvođenjem transformacije dobijamo područje: $T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.$

Jakobova determinanta ove transformacije je sljedeća:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \theta$

dx dy dz diferencijali su onda transformisani u ρ² sin(θ) dρ dθ dφ.

Konačno dobijamo završnu formulu integracije:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

Bolju integraciju domena za ovaj prolaz očito dobijamo upotrebom sfere.

Bolje je koristiti ovu metodu u slučaju sfernih domena i u slučaju funkcija koje se mogu lahko pojednostaviti, sa prvim temeljnim odnosom trigonometrije, produženim u R³ (pogledajte primjer 4-b); u drugim slučajevima bolje je koristiti cilindrične koordinate (pogledajte primjer 4-c).

$\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

Imajmo na umu da dodatni $\rho ^{2}$ i $\sin \theta$ dolazi od Jakobove determinante.

Primjer (4-b):

D je isto područje iz primjera 4-a i $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!$ je funkcija koja se integriše.

Njena transformacija je veoma jednostavna:

$f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2},\,$

dok znamo intervale transformisanog područja

T od D:

$(0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi ).\,$

Stoga primjenjujemo formulu integracije:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi ,$

i razvijanjem dobijamo:

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\theta$

$=2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}.$

Primjer (4-c):

Domen D je lopta sa centrom u osnovi i radijusom 3a ($D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!$) i $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!$ je funkcija koja se integrira.

Gledajući na domen, čini se prikladnim prihvatiti prolaz u sfernim koordinatama, u stvari, intervali varijabli koje razgraničavaju novo T područje su očito:

$0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi .\,$

Međutim, uvodeći transformaciju dobijamo

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$.

Primjenjujući formulu za integraciju dobili bismo:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi$

koju je veoma teško riješiti. Ovaj problem će se riješiti koristeći prolaz u cilindričnim koordinatama. Novi T intervali su

$0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};$

z interval je bio dobijen dijeljem lopte na dvije hemisfere jednostavno rješavanjem nejednakosti iz formule od D (a zatim direktno mijenjajući x² + y² u ρ²). Nova funkcija je jednostavno ρ². Primjenjujući formulu integracije

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz$.

Zatim dobijamo

$\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho .$

Sad primijenimo transformaciju

$9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho \,d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!$

(novi intervali postaju $0,3a\longrightarrow 9a^{2},0$). Dobijamo

$-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,dt$

je $\rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!$, dobijamo

$-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt,$

nakon preokretanja granica integracije i množenjem uslova između zagrada, moguće je rastaviti integral u dva dijela koji se mogu direktno riješiti:

$2\pi \left[\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}$

$=2\cdot 27\pi a^{5}(6-{\frac {2}{5}})=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}.$

Zahvaljujući prolazu u cilindričnim koordinatama bilo je moguće svesti trostruki integral na lakši jednovarijabilni integral.

Pogledati također ulaz razlika u zapremini nabla u cilindričnim i sfernim koordinatama.

Primjer matematičke primjene - izračunavanje zapremine

Zahvaljujući prethodno opisanim metodama moguće je odrediti zapreminu nekim tijela.

• Cilindar: Zamislimo oblast integracije kao kružnu bazu poluprečnika R i konstantnu funkciju kao konstantu na visini h. Moguće je ovo zapisati u polarnim koordinatama na ovaj način:

$\mathrm {Zapremina} =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h$

Provjera: Zapremina = površina baze * visina = $\pi R^{2}\cdot h$

• Sfera: Za ovaj primjer možemo upotrijebiti sferne koordinate na konstantnu integracionu funkciju 1 na sferi istog poluprečnika R:

$\mathrm {Zapremina} =\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.$

• Tetraedar (trouglasta piramida ili 3-simpleks): Zapremina tetraedra iznosi:

$\mathrm {Zapremina} =\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy$

$=\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,dx=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=$

$={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}$

Provjera: Zapremina = površina baze × visina/3 = ${\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}.$

Primjer loše definisane oblasti integracije.

Višestruki nepravi integral

U slučaju slobodnih domena ili neograđenih funkcija u blizini granice domene, moramo uvesti dvostruki nepravi integral ili trostruki nepravi, integral.

Višestruki integrali i iterativni integrali

Fubinijeva teorema kaže da, ako je

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,$

tada je integral apsolutno konvergentan, i tada će višestruki integral dati isti rezultat kao iterativni integral,

$\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

To će se posebno dogoditi ako $|f(x,y)|$ je ograničena funkcija i A i B ograničeni skupovi.

Ako integral nije apsolutno konvergentan, potrebno je paziti da se ne miješaju pojmovi višestruki integral i iterativni integral, pogotovo jer se isto označavanje često koristi za obje koncepcije. Označavanje

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx$

znači u nekim slučajevima, iterativni integral radije nego pravi dvostruki integral. U iterativnom integralu, vanjski integral

$\int _{0}^{1}\cdots \,dx$

je integral u odnosu na x u sljedećoj funkciji od x:

$g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.$

Dvostruki integral, s druge strane, je definisan s obzirom na područje u xy-ravnini. Ako dvostruki integral postoji, onda je jednak za svaki od dva iterativna integrala(ili "dy dx" ili "dx dy") i često ga izračunavamo izračunavajući pojedinačno svaki iterativni integral. Ponekad dva iterativna integrala postoje kad dvostruki integral ne postoji, a u nekim slučajevima su dva iterativna integrala različiti brojevi, tj. jedan ima

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.$

Ovo je primjer preuređenja uslovne konvergencije integrala.

Označavanje

$\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$

može se koristiti ako želimo da budemo jasniji u namjeri oko dvostrukog integrala nego iterativnog integrala.

Neke praktične primjene

Ovi integrali se koriste u mnogim aplikacijama u fizici.

U mehanici moment inercije se izračunava kao zapremina integrala (koji je trostruki integral) od gustoće u odnosu na kvadrat udaljenosti od ose:

$I_{z}=\int _{V}^{.}\rho r^{2}\,dV.$

U elektromagnetizmu, Maxwellova jednačina se može napisati pomoću višestrukih integrala za izračunavanje ukupnog magnetnog i električnog polja. U sljedećem primjeru, električno polje proizvedeno distribucijom napona je dobiveno sa trostrukim integralom vektorske funkcije:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'.$

Također pogledajte

• Teorema divergencije
• Stokesov teorem
• Greenov teorem

Reference

• Robert A. Adams - Calculus: A Complete Course (5th Edition) ISBN 0-201-79131-5.
• R.K.Jain and S.R.K Iyengar- Advanced Engineering Mathematics (Third edition) 2009, Narosa Publishing House ISBN 978-81-7319-730-7