Greenova teorema

U fizici i matematici, Greenov teorem (šire poznato kao Greenova formula) daje odnos između linijskog integrala po jednostavnoj zatvorenoj krivoj liniji C i dvostrukog integrala po oblasti D, ograničenoj sa krivom C. To je specijalni dvodimenzionalni slučaj generalnijeg Stokesovog teorema, a dobio je naziv po britanskom naučniku Georgeu Greenu.

Definicija

Neka C bude pozitivno orijentisana, jednostavna zatvorena kriva u ravni i neka D bude oblast ograničina sa krivom C. Ako L i M imaju neprekidne parcijalne izvode na otvorenoj oblasti koja sadrži D, onda je:

$\int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$

Nekada se napiše mali kružić na simbol integrala $\left(\oint _{C}\right)$ kako bi se pokazalo da je kriva C zatvorena. Za pozitivnu orijentaciju, strijelica, koja pokazuje smijer suprotan kretanju kazaljje na satu, može se ucrtati u ovaj krug.

U fizici, Greenov teorem je najviše koristi kod rješavanja dvodimenzionalnih integrala protoka, koji govore da je suma protoka fluida u bilo kojoj tački unutar volumena jednaka ukupnom protoku kroz zatvorenu površ.

Dokaz kada je D jednostavna oblast

Ako je D jednostavna oblast sa granicoa koja sa sastoji od krivih C₁, C₂, C₃, C₄, Greenov teorem se može primijeniti.

Sljedeći dokaz je dokaz teorema za pojednostavljenu oblast D, oblast tipae I, gdje su C₂ i C₄ vertikalne linije. Sličan dokaz postoji kada je D oblast tipa II, gdje su C₁ i C₃ prave linije.

Ako se može pokazati da su tvrdnje

$\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}$

i

$\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}$

tačne, onda Greenov teorem dokazan u prvom slučaju.

Oblast D tipa I (slika desno) je definisana sa:

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

gdje su g₁ i g₂ neprekidne funkcije. Izračunavanjem dvostrukog integrala u (1):

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)}$

C se može napisati kao unija četiri krive: C₁, C₂, C₃, C₄.

Sa C₁, upotrebom parametarskih jednačina: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Then

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx$

Sa C₃, upotrebom parametarskih jednačina: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Then

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx$

Integral po C₃ se poništava jer je usmjeren u suprotnom pravcu od b do a, a C je orijenstisana pozitivno (suprotno kretanju kazaljke na satu). Na C₂ i C₄, x ostaje konstanta, što znači da je

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0$

Zbog toga je

$\int _{C}L\,dx$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)}$

Kombinirajući (3) da (4), dobijamo (1). Slična izračunavanja daju (2).

Također pogledajte

• Stokesov teorem
• Teorem divergencije
• Planimetar
• Greenovi identiteti

Vanjski kinkovi

• mathworld Arhivirano 15. 11. 2013. na Wayback Machine
• Greenov teorem