Moment inercije

Moment inercije je mjera inercije za rotacijsko kretanje. Može se, dakle, reći da je moment inercije rotacijska analogija mase. Što je moment inercije nekog tijela veći, to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotaciju.

Međutim, za razliku od mase, moment inercije nije neki nepromjenjivi broj: on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela. Matematička definicija momenta inercije materijalne tačke mase $\mathbf {} m$ za neku osu "a" je:

$\mathbf {} J_{a}=mr^{2}$

gdje je $\mathbf {} r$ udaljenost te tačke od ose rotacije; mjerna jedinica je [$kgm^{2}$].

Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbiru momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu.

$J_{a}=\sum m_{i}{r_{i}}^{2}$

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica. Umjesto toga vrši se integriranje momenata inercije svih diferencijalnih masa $\mathbf {} dm$

$J_{a}=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV$

uz pretpostavku da je gustoća tijela $\mathbf {} \rho$ po cijelom volumenu jednaka, dobijamo

$J_{a}=\rho \int r^{2}dV=\rho \int r^{2}dxdydz$

Momenti inercije za ose koje prolaze kroz težište tijela se nazivaju vlastitim momentima inercije. Iako gornja matematička formulacija vrijedi općenito, moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila, koje se može ovako formulisati: Moment inercije tijela za neku osu koja ne prolazi težištem jednak je zbiru vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i proizvoda mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od tražene ose. Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno. Proizvod mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene ose se naziva položajni moment inercije.

Matematička formula Steinerovog pravila se može zapisati na slijedeći način:

$\mathbf {} J=J_{vl}+mr^{2}=J_{vl}+J_{pol}$

Iz svega izloženog treba uočiti nekoliko činjenica bitnih za razumijevanje materije:

• Što je neka masa udaljenija od ose rotacije, to je teže vršiti rotaciju.
• Inertnost mase pri rotaciji raste s kvadratom udaljenosti od ose rotacije.
• Materijalna tačka nema vlastitih momenata inercije jer nema protežnost.
• Za dovoljno kompaktna tijela (npr. mala kugla) u nekim slučajevima se mogu aproksimirati da nemaju vlastitih momenata inercije.
• Moment inercije nekog tijela ne ovisi samo o njegovoj masi i udaljenosti njegovog težišta od ose rotacije, već i o obliku.
• Steinerovo pravilo se primjenjuje bez obzira na to da li osa rotacije prolazi kroz tijelo ili se nalazi izvan njega, bitan je samo odnos ose prema težištu.