Nepravi integral

Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa antiderivacijama, integralima i graničnim vriejdnostima.

U kalkulusu, nepravi integral je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili ∞ ili −∞, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti.

Slika 1

U nekim slučajevima, integral

$\int _{a}^{c}f(x)\,dx\,$

se definiše bez obzira na granicu

$\lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,$

ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija f, koja se integriše od a do c, ima vertikalnu asimptotu u c, ili ako c = ∞ (pogledajte: Slika 1 i Slika 2).

U nekim slučajvima, integral od a do c nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova f(x) dx od a do c beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti.

Slika 2

Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}$

može se interpretirati kao

$\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},$

ali, prema matematičkoj analizi, nije neophodno interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, ∞). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti.

U suprotnosti,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx$

ne može biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je

$\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .$

Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Možemo govoriti o singularitetima nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost.

Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa beskonačnosti kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.

Beskonačne granice integracije

Najosnovniji od nepravih integrala su integrali tipa:

$\int _{0}^{\infty }{dx \over x^{2}+1}.$

Kako je gore rečeno, ovo ne mora biti definisano kao nepravi integral, jer se, umjesto toga, može računati kao Lebesgueov integral. Međutima, u svrhu tačnog izračunavanja ovog integrala, bolje ga je tretirati kao nepravog integrala, npr. izračunati ga kada je gornja granica integracije konačna, a zatim računati graničnu vrijednost, ako ta granica teži ka ∞. Antiderivacija funkcije koja se integriše je arctan x. Integral je

$\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\arctan b-\arctan 0=\pi /2-0=\pi /2.$

Nepravi integral konvergira samo ako i granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala, koji ne oknvergira:

$\int _{1}^{\infty }{dx \over x}=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\ln b=\infty$

Nekada će obje granice biti beskonačne. U tom slučaju, integral se može razbiti na sumu dva neprava integrala:

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx$

gdje je a arbitražni konačni broje.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Vertikalne asimptote u granicama integracije

Razmotrimo

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}.$

Ova je integral funkcije sa vertikalnom asimptotom u x = 0.

Ovaj integral se može izračunati ako računamo u granicama od b (broj veći od nule) do 1, a zatim izračunati graničnu vrijednosti kada b teži 0 sa desne strane (pošto je interval naše integracije sa desne strane od 0). Treba primijetiti da je antiderivacija funkcije iznad upravo $3x^{1/3},$, tako da se integral može računati kao

$\lim _{b\rightarrow 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}=3\cdot 1^{1/3}-\lim _{b\rightarrow 0^{+}}3b^{1/3}=3-0=3.$

Nepravi integral konvergira samo ako granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala koji ne konvergira:

$\int _{0}^{1}{dx \over x}=\lim _{b\rightarrow 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{b\rightarrow 0^{+}}-\ln b=\infty$

Ponekad se vrši integracija iznad intevala koji siječe vertikalna asimptota. U tom slučaju, može se integral rastaviti na sumu dva neprava integala sa obe strane:

$\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx$

gdje je b lokacija vertikalne asimptote.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Cauchyjeva principijalna vrijednost

Glavni članak: Cauchyjeva principijalna vrijednost

Razmotrimo razliku u vrijednostima ova dva limesa:

$\lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,$

$\lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.$

Prethodni je Cauchyjeva principijalna vrijednost predhodno nedefinisanog izraza

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).$

Slično tome, imamo

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,$

ali

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$

Prethodni je principijalna vrijednost prethodno nedefinisanog izraza

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).$

Sve prethodne granične vrijednosti su u nedefinisanoj formi ∞ − ∞.