Potencijalni red

U matematici, potencijalni red (ili stepeni red) (jedne promjenljive) je red oblika

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots

gdje a_n predstavlja koeficijent n-tog sabirka, C je konstanta, a x je a blizu c. Ovi redovi se često javljaju u vidu Taylorovih redova neke date funkcije; u članku o Taylorovim redovima se mogu naći primjeri.

Jako često se uzima da je c jednako nuli, naprimjer, kada se razmatraju Maclaurinovi redovi. U ovim slučajevima, potencijalni red ima jednostavniji oblik

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .

Ovakvi potencijalni redovi se javljaju uglavnom u analizi, ali također i u kombinatorici (kao generatorne funkcije) i u obradi signala.

Primjeri

Svaki polinom se lahko može izraziti kao potencijalni red kod tačke c, mada mu je većina koeficijenata jednaka nuli. Na primjer, polinom $f(x)=x^{2}+2x+3$ se može zapisati kao potencijalni red oko $c=0$ oblika

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,

ili oko centra $c=1$ kao

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,

ili oko bilo kog drugog centra c. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao polinomi beskonačnog reda, mada oni nisu polinomi.

Formula geometrijskog reda

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,

koja važi za $|x|<1$ , je jedna od najvažnijih primjera potencijalnog reda, kao i formula eksponencijalne funkcije

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

i sinusna formula

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,

koja važi za svako realno x. Ovi potencijalni redovi su također i primjeri Taylorovih redova. Međutim, postoje potencijalni redovi koji nisu Taylorovi redovi ni jedne funkcije, naprimjer

\sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots .

Negativni potencijalni nisu dozvoljeni u potencijalnim redovima, naprimjer $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ se ne smatra potencijalnim redom (mada jeste Laurentov red). Slično, razlomljeni potencijalnovi, kao što je $x^{1/2}$ nisu dozvoljeni (vidi Piseov red). Koeficijenti $a_{n}$ ne smiju da zavise od $x$ , stoga naprimjer:

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,

nije potencijalni red.

Radijus konvergencije

Stepeni red sigurno konvergira za neke vrijednosti promjenljive x (barem za x = c) a za ostale može da divergira. Uvek postoji broj r, 0 ≤ r ≤ ∞ takav da red konvergira kad god je |x − c| < r i divergira kad god |x − c| > r. Broj r se naziva radijus konvergencije (ili stpen konvergencije) potencijalnog reda; u općem slučaju, radijus konvergencije je određen izrazom

r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}

ili, ekvivalentno,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(pogledajte limes superior i limes inferior). Brz način da se izračuna je

r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|

ako ovaj limes postoji.

Red konvergira apsolutno za |x - c| < r i uniformno na svakom neprekidnom podskupu {x : |x − c| < r}.

Za |x - c| = r, se ne može u općem slučaju reći da li red konvergira ili divergira. Međutim, Abelov teorem kaže da je suma reda neprekidna na x ako red konvergira na x.

Operacije sa potencijalnim redovima

Sabiranje i oduzimanje

Kada se dvije funkcije, f i g dekomponuju u potencijalni red oko istog centra c, potencijalni red zbira ili razlike funkcija se može naći sabiranjem ili oduzimanjem član po član. To jest, ako:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

onda

f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}

Množenje i dijeljenje

Uz iste definicije kao i gore, potencijalni red proizvoda ili količnika funkcija se može dobiti na slijedeći način:

f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)

=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}

=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.

Niz $m_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ je poznat kao konvolucija nizova $a_{n}$ i $b_{n}$ .

Primijetimo, za dijeljenje:

{f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}

f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređujući koeficijente.

Diferenciranje i integracija

Ako je funkcija data kao stepeeni red, ona je neprekidna gdje god konvergira, i diferencijabilna je na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo jednostavno, član po član:

f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}

\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+C

Oba ova reda imaju isti radijus konvergencije kao i početni.

Analitičke funkcije

Funkcija f definisana na nekom otvorenom podskupu U od R ili C se naziva analitičkom ako je lokalno zadata potencijalnim redom. Ovo znači da svako a ∈ U ima otvorenu okolinu V ⊆ U, takvu da postoji potencijalni red sa centrom a koji konvergira funkciji f(x) za svako x ∈ V.

Svaki potencijalni red sa pozitivnim radijusom konvergencije je analitički na unutrašnjosti svoje oblasti konvergencije. Sve holomorfne funkcije su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkcija su analitičke, kao i količnici, sve dok nazivnik nije nula.

Formalni potencijalni redovi

U apstraktnoj algebri, pokušava se da se izvuče suština potencijalnih redova, bez ograničavanja na polja realnih i kompleksnih brojeva i bez potrebe da se govori o konvergenciji. Ovo dovodi do koncepta formalnog potencijalnog reda. Ovaj koncept je od velikog značaja u kombinatorici.