Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se historijski prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je $\mathbb {Q}$ , polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva $\mathbb {R}$ , polje kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten ( $\mathbb {F}$ , +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od $\mathbb {F}$ osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od $\mathbb {F}$ za + i *: $\forall a,b\in \mathbb {F}$ , $a+b\in \mathbb {F}$ i $a*b\in \mathbb {F}$ (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
+ i * su asocijativne operacije: $\forall a,b,c\in \mathbb {F}$ , $a+(b+c)=(a+b)+c$ i $a*(b*c)=(a*b)*c$ .
+ i * su komutativne operacije: $\forall a,b\in \mathbb {F}$ , $a+b=b+a$ i $a*b=b*a$ .
Vrijedi distributivnost operacije * prema +: $\forall a,b,c\in \mathbb {F}$ , $a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$ .
Postojanje neutralnog elementa za sabiranje: $\exists 0\in \mathbb {F}$ takav da je $\forall a\in \mathbb {F}$ , $a+0=0+a=a$ .
Postojanje neutralnog elementa za množenje: $\exists 1\in \mathbb {F}$ takav da je $\forall a\in \mathbb {F}$ , $a*1=1*a=a$ .
Postojanje inverza za sabiranje: $\forall a\in \mathbb {F}$ $\exists -a\in \mathbb {F}$ , takav da je $a+(-a)=-a+a=0$ .
Postojanje inverza za množenje: $\forall a\in \mathbb {F} ,a\neq 0$ , $\exists a^{-1}\in \mathbb {F}$ , takav da je $a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$ .

Uslov da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ( $\mathbb {F}$ , +) i
( $\mathbb {F} \setminus \{0\}$ , *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

Primjeri

Kompleksni brojevi $\mathbb {C}$ , s uobičajenim operacijama sabiranja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća podpolja:
Racionalni brojevi $\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}$ | $a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}$ , gdje je $\mathbb {Z}$ skup cijelih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.