Limes (matematika)

U matematici, granična vrijednost ili limes se koristi za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.

Granična vrijednost funkcijeUredi

Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:

 

znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".

Formalna definicijaUredi

 
Kad god je x unutar δ jedinica od p, f(x) je unutar ε jedinica od L

Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.

 

znači da

za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.

ili, simbolički,

 

Granična vrijednost nizaUredi

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao

 

što riječima znači

Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.

Korisni identitetiUredi

  •  , gdje je S skalarni množilac.
  •  , gdje je b konstanta.

Sljedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

  •  
  •  
  •  
  •  , ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer,  , ali   je nedefinisan.

Veoma važne granične vrijednostiUredi

  •  
  •  
  •  

L'Hôpitalovo praviloUredi

Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)

  •  

Na primjer:

 

Sume i integraliUredi

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti   je  .

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti   je  .

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti   je  .

Također pogledajteUredi