Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere . Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.
Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc). [ 1]
Odnosno:
sin
α
=
a
c
{\displaystyle \sin \alpha ={{\mbox{a}} \over {\mbox{c}}}}
Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.
csc
α
=
c
a
{\displaystyle \csc \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{a}}}}
Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.
cos
α
=
b
c
{\displaystyle \cos \alpha ={{\mbox{b}} \over {\mbox{c}}}}
Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.
sec
α
=
c
b
{\displaystyle \sec \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{b}}}}
Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.
tan
α
=
tg
A
=
a
b
{\displaystyle \tan \alpha ={{\mbox{tg}}A}={{\mbox{a}} \over {\mbox{b}}}}
Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.
cot
α
=
ctg
A
=
b
a
{\displaystyle \cot \alpha ={{\mbox{ctg}}A}={{\mbox{b}} \over {\mbox{a}}}}
Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.
Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).
Trigonometrijska kružnica
uredi
Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku
O
(
0
,
0
)
{\displaystyle O(0,0)}
, tj.
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla
φ
{\displaystyle \varphi }
definišu se jednakostima
cos
2
ϕ
+
sin
2
ϕ
=
1
,
{\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,}
sinus i kosinus su realni brojevi.
tg
ϕ
=
sin
ϕ
cos
ϕ
,
ctg
ϕ
=
cos
ϕ
sin
ϕ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},}
tangens i kotangens
sec
ϕ
=
1
cos
ϕ
,
csc
ϕ
=
1
sin
ϕ
,
{\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},}
sekans i kosenkans
vercos
ϕ
=
1
−
sin
ϕ
,
versin
=
1
−
cos
ϕ
,
{\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,}
kosinus versus i sinus versus
Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću
Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao
φ
{\displaystyle \varphi }
može rasti do
360
o
{\displaystyle 360^{o}}
i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla
φ
{\displaystyle \varphi }
. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu.
To se vidi iz tabele [ 2]
Trigonometrijske funkcije po kvadrantima
Kvadrant
1. (0°-90°)
2. (90°-180°)
3. (180°-270°)
4. (270°-360°)
sinus
+
+
-
-
kosinus
+
-
-
+
tangens
+
-
+
-
Svođenje na prvi kvadrant
uredi
Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta: [ 3]
cos
(
π
−
ϕ
)
=
−
cos
ϕ
,
sin
(
π
−
ϕ
)
=
sin
ϕ
,
{\displaystyle \cos(\pi -\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi -\phi )=\sin \phi ,}
cos
(
π
+
ϕ
)
=
−
cos
ϕ
,
sin
(
π
+
ϕ
)
=
−
sin
ϕ
,
{\displaystyle \cos(\pi +\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi +\phi )=-\sin \phi ,}
cos
(
−
ϕ
)
=
cos
ϕ
,
sin
(
−
ϕ
)
=
−
sin
ϕ
.
{\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}
Funkcije kosinus i sinus imaju period
2
π
{\displaystyle 2\pi }
, a tangens
π
{\displaystyle \pi }
:
cos
(
2
π
+
ϕ
)
=
cos
ϕ
,
sin
(
2
π
+
ϕ
)
=
sin
ϕ
,
tg
(
π
+
ϕ
)
=
tg
ϕ
.
{\displaystyle \cos(2\pi +\phi )=\cos \phi ,\;\sin(2\pi +\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (\pi +\phi )=\operatorname {tg} \phi .}
Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule [ 4]
T
=
2
π
ω
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}
Period funkcije
sin
2
α
{\displaystyle \sin {2\alpha }}
je
T
=
2
π
2
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}}
, odnosno
π
{\displaystyle \pi }
.
Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant,
na način vidljiv u sljedećoj tabeli
β
{\displaystyle \beta \,}
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }
π
+
α
{\displaystyle \pi +\alpha \,}
3
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }
T
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
π
−
α
{\displaystyle \pi -\alpha \,}
3
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }
2
π
−
α
{\displaystyle 2\,\pi -\alpha }
sin
β
{\displaystyle \sin \beta \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
β
{\displaystyle \cos \beta \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
tg
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način
f
(
n
π
+
α
)
=
±
f
(
α
)
{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}
f
(
n
π
−
α
)
=
±
f
(
α
)
{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
+
α
)
=
±
g
(
α
)
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
−
α
)
=
±
g
(
α
)
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija
uredi
Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju: [ 5]
Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
0°
30°
45°
60°
90°
sin
ϕ
{\displaystyle \sin \phi \,}
0
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
1
cos
ϕ
{\displaystyle \cos \phi \,}
1
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0
tg
ϕ
{\displaystyle \operatorname {tg} \phi }
0
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:
α
{\displaystyle \alpha \,}
π
12
=
15
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}
π
10
=
18
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}
π
8
=
22.5
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}
π
5
=
36
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}
3
π
10
=
54
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}
3
π
8
=
67.5
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}
2
π
5
=
72
∘
{\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
3
−
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
3
+
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
.
.
.
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
==
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija .
majući u vidu jednakosti
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}
ctg
x
=
cos
x
sin
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}}}
,
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}
cosec
x
=
1
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}
u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
ctg
x
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
x
7
4725
−
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
sec
x
=
1
+
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+
61
720
x
6
+
277
8064
x
8
+
⋯
=
1
+
∑
n
=
1
∞
E
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
csc
x
=
1
x
+
1
6
x
+
7
360
x
3
+
31
15120
x
5
+
127
604800
x
7
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:
sin
(
−
α
)
=
−
sin
α
,
{\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}
cos
(
−
α
)
=
cos
α
,
{\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}
t
g
(
−
α
)
=
−
t
g
α
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}
c
t
g
(
−
α
)
=
−
c
t
g
α
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}
sec
(
−
α
)
=
sec
α
,
{\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}
c
o
s
e
c
(
−
α
)
=
−
c
o
s
e
c
α
.
{\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}
Granična vrijednost
uredi
lim
ϕ
→
0
sin
ϕ
=
0
,
lim
ϕ
→
0
cos
ϕ
=
1.
{\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.}
lim
x
→
+
0
ctg
x
=
+
∞
,
lim
x
→
−
0
ctg
x
=
−
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .}
З
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}
(
sin
x
)
′
=
cos
x
,
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
,
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}
(
tg
x
)
′
=
sec
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}
(
ctg
x
)
′
=
−
csc
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,}
Dokaz
Δ
sin
x
=
sin
(
x
+
Δ
x
)
−
sin
x
=
2
cos
(
x
+
Δ
x
2
)
sin
Δ
x
2
,
{\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},}
pa je
Δ
sin
x
Δ
x
=
cos
(
x
+
Δ
x
2
)
Δ
x
2
→
cos
x
,
{\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,}
kada
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}
Zbog
cos
x
=
sin
(
π
2
−
x
)
,
{\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),}
биће
(
cos
x
)
′
=
cos
(
π
2
−
x
)
⋅
(
π
2
−
x
)
′
=
−
cos
(
π
2
−
x
)
=
−
sin
x
.
{\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}
Izvod količnika
(
tg
x
)
′
=
(
sin
x
cos
x
)
′
=
{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}
=
sin
′
x
cos
x
−
cos
′
x
sin
x
cos
2
x
=
cos
2
x
+
sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
.
{\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}
Izvod količnika
(
ctg
x
)
′
=
(
cos
x
sin
x
)
′
=
{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}
=
cos
′
x
sin
x
−
sin
′
x
cos
x
sin
2
x
=
−
sin
2
x
−
cos
2
x
sin
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
csc
2
x
.
{\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.}
Integrali trigonometrijskih funkcija
uredi
Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:
f
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f(x)}
f
′
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,dx}
sin
x
{\displaystyle \,\ \sin x}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \,\ -\cos x+C}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle \,\ -\sin x}
sin
x
+
C
{\displaystyle \,\ \sin x+C}
tan
x
{\displaystyle \,\ \tan x}
sec
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}
cot
x
{\displaystyle \,\ \cot x}
−
csc
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}
sec
x
{\displaystyle \,\ \sec x}
sec
x
tan
x
{\displaystyle \,\ \sec x\tan x}
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}
csc
x
{\displaystyle \,\ \csc x}
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle \,\ -\csc x\cot x}
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}
Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina
uredi
Inverzne trigonometrijske funkcije
uredi
Inverzne trigonometrijske funkcije su
a
r
c
s
i
n
x
{\displaystyle arcsinx}
arkus sinus
a
r
c
c
o
s
x
{\displaystyle arccosx}
arkus kosinus
a
r
c
t
g
x
{\displaystyle arctgx}
arkus tangens
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle arcctgx}
arkus kotangens
One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.
za
−
π
2
≤
y
≤
π
2
,
y
=
arcsin
x
ako
x
=
sin
y
;
za
0
≤
y
≤
π
,
y
=
arccos
x
ako
x
=
cos
y
;
za
−
π
2
<
y
<
π
2
,
y
=
arctan
x
ako
x
=
tan
y
;
za
−
π
2
≤
y
≤
π
2
,
y
≠
0
,
y
=
arccsc
x
ako
x
=
csc
y
;
za
0
≤
y
≤
π
,
y
≠
π
2
,
y
=
arcsec
x
ako
x
=
sec
y
;
za
0
<
y
<
π
,
y
=
arccot
x
ako
x
=
cot
y
.
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ako}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ako}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{ako}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{ako}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{ako}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{za}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{ako}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}}
inus versus je trigonometrijska funkcija
y
=
versin
x
=
1
−
cos
x
{\displaystyle y=\operatorname {versin} x=1-\cos x}
Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.
Svugdje je definisana.
Nule su u tackama
(
2
k
π
,
0
)
{\displaystyle \left(2k\pi ,0\right)}
, a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je
2
π
{\displaystyle 2\pi }
, minimumi su u nulama, a maksimumi
(
(
2
k
+
1
)
π
,
2
)
{\displaystyle ((2k+1)\pi ,2)}
Funkcija sinus versus ugla alfa je
versin
(
α
)
=
1
−
c
o
s
α
{\displaystyle {\textrm {versin}}(\alpha )=1-cos\alpha }
.
Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.
(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)
versin
(
θ
)
=
2
sin
2
(
θ
2
)
=
1
−
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta )=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}
vercosin
(
θ
)
=
2
cos
2
(
θ
2
)
=
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta )=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}
coversin
(
θ
)
=
versin
(
π
2
−
θ
)
=
1
−
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta )={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}
covercosin
(
θ
)
=
vercosin
(
π
2
−
θ
)
=
1
+
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta )={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,}
haversin
(
θ
)
=
versin
(
θ
)
2
=
1
−
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}
havercosin
(
θ
)
=
vercosin
(
θ
)
2
=
1
+
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,}
hacoversin
(
θ
)
=
coversin
(
θ
)
2
=
1
−
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,}
hacovercosin
(
θ
)
=
covercosin
(
θ
)
2
=
1
+
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}
d
d
x
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}
∫
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}
d
d
x
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}
∫
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
d
d
x
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
−
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}
d
d
x
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}
d
d
x
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
−
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
−
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}
Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.