Injektivna funkcija

Za funkciju $f(x)\colon X\rightarrow Y$ kažemo da je injektivna funkcija, ili samo injekcija, ako ne postoje dva različita elementa domena, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomena.

Injektivna funkcija (injekcija)

Druga injektivna funkcija (ova je bijekcija)

Neinjektivna funkcija (ova je slučajem surjekcija)

To znači da se svi elementi iz domena preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomena (funkcija ne preslikava različite elemente u isti).

Zapisano simboličkom logikom, $f(x)\colon X\rightarrow Y$ je injektivna ako vrijedi:

$(\forall x_{1},x_{2}\in X)\ ((x_{1}\neq x_{2})\Rightarrow (f(x_{1})\neq f(x_{2}))$

što je ekvivalentno tvrdnji:

$(\forall x_{1},x_{2}\in X)\ ((f(x_{1})=f(x_{2}))\Rightarrow (x_{1}=x_{2}))$

Primjeri

• Za bilo koji skup X, funkcija identiteta na X je injektivna.
• Funkcija f : R → R definisana sa f(x) = 2x + 1 je injektivna.
• Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = x² nije injektivna, zato što (naprimjer) g(1) = 1 = g(−1). Međutim, ako je g ponovo definisana tako da su njen domen nenegativni realni brojevi [0,+∞), tada je g injektivna.
• Eksponencijalna funkcija exp : R → R definisana sa exp(x) = e^x je injektivna (ali ne i surjektivna pošto nema preslikavanja u negativne brojeve).
• funkcija prirodnog logaritma ln : (0, ∞) → R definisana sa x ↦ ln x je injektivna.
• Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = xⁿ − x nije injektivna, pošto je, naprimjer, g(0) = g(1).

Ostale osobine

• ako su f i g injektivne, tada je f ∘ g injektivna.

Kompozicija dvije injektivne funkcije je injektivna funkcja.

• Ako je g ∘ f inejektivna, tada je f injektivna (ali g ne mora biti).
• f : X → Y je injektivna ako i samo ako, za bilo koje zadate funkcije g, h : W → X, kad god je f ∘ g = f ∘ h, tada je g = h. Drugim riječima, injektivne funkcije su tačno monomorfizmi u kategoriji skupa skupova.
• Ako je f : X → Y injektivna, a A je podskup od X, tada je f ⁻¹(f(A)) = A. Zbog toga, A može biti dobijen iz svoje slike f(A).
• Ako je f : X → Y injektivna, a A i B su podskupovi od X, tada je f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
• Svaka funkcija h : W → Y može se dekomponovati kao h = f ∘ g za pogodnu injekciju f i surjekciju g.
• Ako je f : X → Y injektivna funkcija, tada Y ima najmanje onoliko elemenata koliko ima skupa X, u smislu kardinalnih brojeva. Pojedinačno, ako, dodatno, postoji injekcija iz $Y$ u $X$, tada $X$ i $Y$ imaju isti kardinalni broj. (Ovaj iskaz poznat je i kao Cantor–Bernstein–Schroederov teorem.)
• Ako su i X i Y konačni sa istim brojem elemenata, tada je f : X → Y injektivna ako i samo ako je f surjektivna.

Također pogledajte

• Surjektivna funkcija
• Injektivni modul
• Test horizontalnom linijom
• Injektivni metrički prostor

Reference

• Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd izd.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
• Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.