Injektivna funkcija

Za funkciju kažemo da je injektivna funkcija, ili samo injekcija, ako ne postoje dva različita elementa domena, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomena.

Injektivna funkcija (injekcija)
Druga injektivna funkcija (ova je bijekcija)
Neinjektivna funkcija (ova je slučajem surjekcija)

To znači da se svi elementi iz domena preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomena (funkcija ne preslikava različite elemente u isti).

Zapisano simboličkom logikom, je injektivna ako vrijedi:

što je ekvivalentno tvrdnji:

PrimjeriUredi

  • Za bilo koji skup X, funkcija identiteta na X je injektivna.
  • Funkcija f : R → R definisana sa f(x) = 2x + 1 je injektivna.
  • Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = x2 nije injektivna, zato što (naprimjer) g(1) = 1 = g(−1). Međutim, ako je g ponovo definisana tako da su njen domen nenegativni realni brojevi [0,+∞), tada je g injektivna.
  • Eksponencijalna funkcija exp : RR definisana sa exp(x) = ex je injektivna (ali ne i surjektivna pošto nema preslikavanja u negativne brojeve).
  • funkcija prirodnog logaritma ln : (0, ∞) → R definisana sa x ↦ ln x je injektivna.
  • Funkcija g : R → R definisana sa g(x) = xnx nije injektivna, pošto je, naprimjer, g(0) = g(1).

Ostale osobineUredi

  • ako su f i g injektivne, tada je f ∘ g injektivna.
 
Kompozicija dvije injektivne funkcije je injektivna funkcja.
  • Ako je g ∘ f inejektivna, tada je f injektivna (ali g ne mora biti).
  • f : X → Y je injektivna ako i samo ako, za bilo koje zadate funkcije g, h : W → X, kad god je f ∘ g = f ∘ h, tada je g = h. Drugim riječima, injektivne funkcije su tačno monomorfizmi u kategoriji skupa skupova.
  • Ako je f : X → Y injektivna, a A je podskup od X, tada je f −1(f(A)) = A. Zbog toga, A može biti dobijen iz svoje slike f(A).
  • Ako je f : X → Y injektivna, a A i B su podskupovi od X, tada je f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
  • Svaka funkcija h : W → Y može se dekomponovati kao h = f ∘ g za pogodnu injekciju f i surjekciju g.
  • Ako je f : X → Y injektivna funkcija, tada Y ima najmanje onoliko elemenata koliko ima skupa X, u smislu kardinalnih brojeva. Pojedinačno, ako, dodatno, postoji injekcija iz   u  , tada   i   imaju isti kardinalni broj. (Ovaj iskaz poznat je i kao Cantor–Bernstein–Schroederov teorem.)
  • Ako su i X i Y konačni sa istim brojem elemenata, tada je f : X → Y injektivna ako i samo ako je f surjektivna.

Također pogledajteUredi

ZabilješkeUredi

ReferenceUredi

  • Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd izd.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
  • Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.