Vektorska analiza

Vektorska analiza je grana matematike koja se bavi diferencijacijom i integracijom vektorskih polja. Termin "vektorski kalkulus" se ponekad koristi kao sinonim za širu oblast kalkususa više promjenljivih, koji uključuje cektorski kalkulus, kao i parcijalnu diferencijaciju i višestruku integraciju. Vektorski kalkulus igra značajnu ulogu u diferencijalnoj geometriji i proučavanju parcijalnih diferencijalnih jednačina. Jako mnogo se koristi u fizici i inženjerstvu, posebno u opisivanju elektromagnetnih polja, gravitacionih polja i strujanja fluida.

Vektorski kalkulus razvio se iz kvaternionske analize Josiaha Willard Gibbsa i Olivera Heavisidea krajem 19. vojeka, dok su većinu oznaka i terminologije uveli Gibbs i Wilson u njihovoj knjizi iz 1901. godine pod nazivom Vector Analysis.

Vektorske operacije

Vektorska analiza proučava razne diferencijalne operatore definisane u skalarnim i vektorskim poljima, koji su obično predstavljeni pomoću nabla znaka ($\nabla$). Četiri najvažnije operacije u vektorskoj analizi su:

Operacija	Oznaka	Opis	Domena
Gradijent	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Mjeri veličinu i pravac promjene skalarnog polja.	Preslikava skalarna u vektorska polja.
Rotor	$\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Mjeri tendenciju rotacije oko jedne tačke u vektorskom polje.	Preslikava vektorska u vektorska polja.
Divergencija	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Mjeri intenzitet izvora ili ponora u datoj tački vektorskog polja.	Preslikava vektorska u skalarna polja.
Laplasijan	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Kompozicija operacija divergencije i gradijenta.	Preslikava skalarna u skalarna polja.

Rotor i divergencija se razlikuju, gdje prvi upotrebljava vektorski proizvod, a drugi skalarni proizvod, te gdje je f skalarno polje, a F vektorsko polje. Veličina, nazvana Jakobijan je korisna za proučavanje funkcija kada su i domen i radijus funkcije viševarijabilni, kao što je korisna promjena varijabli tokom integracije.

Teoremi

Također, postoji nekoliko važnih teorema vezanih za ove operacije, koje uopćuju fundamentalni teorem kalkulusa u više dimenzije:

Teorem	Iskaz	Opis
Teorem gradijenta	$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .$	Linijski integral kroz gradijent (vektorskog) polja jednak je razlici u njegovom skalarnom polju u krajnjim tačkama krive.
Greenov teorem	$\int _{C}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	Integral skalarnog rotora vektorskog polja, preko neke oblasti u ravni, jednake je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ogranilava tu oblast.
Stokesov teorem	$\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,$	Integral rotora vektorskog polja, preko površi, jednak je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ograničava tu površ.
Teorem divergencije	$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,$	Integral divergencije vektorskoh polja, preko nekog čvrstog tijela, jednak je integralu fluksa kroz površinu koja ograničava to čvrsto tijelo.

Također pogledajte

• Identiteti vektorskog kalkulusa
• Nevrtložno vektorsko polje
• Solenoidalno vektorsko polje
• Laplasijansko vektorsko polje

Reference

• Michael J. Crowe (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 0-486-67910-1.
• H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-92516-1.
• J.E. Marsden (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-0462-5.

• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

Vanjski linkovi

• Expanding vector analysis to a non-orthogonal space
• Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis