Divergencija

Za druga značenja, pogledajte Divergencija (čvor).

U vektorskom kalkulusu, divergencija je operator koji mjeri intenzitet izvora ili ponora vektorskog polja u datoj tački; divergencija vektorskog polja je skalar. Za vektorsko polje koje pokazuje brzinu širenja zraka kada se on zagrijava, divergencija polja brzine imala bi pozitivnu vrijednost, jer se zrak širi. Da se zrak hladi i skuplja, divergencija bi bila negativna. Divergencija bi se mogla opisati i kao mjera promjene u gustoći.

Vektorsko polje koje ima divergenciju jednaku nuli naziva se solenoidalno vektorsko polje.

Definicija

Neka x, y, z bude sistem pravouglih koordinata u 3-dimenzionalnom Euklidovom prostoru, te neka su i, j, k odgovarajuće baze jediničnih vektora.

Divergencija glatke funkcije vektorskog polja F = F_x i + F_y j + F_z k je definisana kao skalarna funkcija:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Iako je izražena preko koordinata, rezultat je invarijanta pri ortogonalnim transformacijama.

Uobičajna oznaka za divergenciju ∇·F, gdje tačka govori da se radi o skalarnom proizvodu: uzmete komponente od ∇ (pogledajte nabla), pomnožite ih sa komponentama od F, te saberete rezultat.

Osobine

Sljedeće osobine more se izvesti iz običnih pravila matematičke analize. Najvažnije, divergencija je linearni operator, na primjer

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

za sva vektorska polja F i G i za sve realne brojeves a i b.

Postoji pravilo izvoda proizvoda sljedeće vrste: ako je φ skalarna funkcija, a F vektorsko polje, tada je

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$

ili ljepše napisano

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

Drugo pravilo proizvoda za vektorski proizvod dva vektorska polja F i G u tri dimenzije uključuje i rotor i čita se na sljedeći način:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} (\mathbf {G} ),$

ili

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

Laplacijan skalarnog polja je divergencija gradijenta polja.

Divergencija rotora bilo kojeg vektorskog polja (u tri dimenzije) je konstanta i jednaka je nuli. Ako je vektorsko polje F, sa divergencijom koja je jednaka nuli, definisano na lopti u R³, tada postoji neko vektorsko polje G na lopti sa F = rot(G). Za regione u R³ komplikovanije od lopti, ova tvrdnja bi mogla biti netačna (pogledajte članak Poincaréova lema). Stepen netačnosti istine ove tvrdnje, mjerena putem homologije lančanog kompleksa

$\{{\mbox{scalar fields on }}U\}\;$

$\to \{{\mbox{vector fields on }}U\}\;$

$\to \{{\mbox{vector fields on }}U\}\;$

$\to \{{\mbox{scalar fields on }}U\}\;$

Također pogledajte

• Teorem divergencije
• Rotor
• Gradijent
• Nabla u cilindričnim i sfernim koordinatama

Reference

1. Brewer, Jess H. (7. 4. 1999). "DIVERGENCE of a Vector Field". Vector Calculus. Arhivirano s originala, 23. 11. 2007. Pristupljeno 28. 9. 2007.
2. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157-160. ISBN 0-486-41147-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)

Vanjski linkovi

• Ideja divergencije i rotora