Skalarni proizvod

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi$

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a₁, a₂, … , a_n] i vektora b = [b₁, b₂, … , b_n] :

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

• gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.$

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {b_{i}}}a_{i}}$

gdje je

${\overline {b_{i}}}$

konjugovano kompleksan broj od $b_{i}$; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}$

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right).$

Dokaz geometrijske intepretacije

Razmotrimo vektor

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} .\,$

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

$v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.\,$

Dobijeno je isto kao i

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2},\,$

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v^{2}.\,$

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

$\mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,$

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\,$

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,$                   (1)

Ali pošto je c ≡ a − b, također imamo da je

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,$,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,$                     (2)

Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2), dobijamo

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,$

Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta .\,$

Q.E.D.

Dokaz kosinusne teoreme

Kako je $c=a-b$ imamo:

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )$ $=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{2}+\mathbf {b} ^{2}-2ab=$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta$

Trostruki proizvod

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Projekcija vektora na vektor

Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor tj.

• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}$ skalarna projekcija vektora ${\overrightarrow {a}}$ na vektor ${\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}$ skalarna projekcija vektora ${\overrightarrow {b}}$ na vektor ${\overrightarrow {a}}$
• $({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}$ vektorska projekcija vektora ${\overrightarrow {a}}$ na vektor ${\overrightarrow {b}}$
• $({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}$ vektorska projekcija vektora ${\overrightarrow {b}}$ na vektor ${\overrightarrow {a}}$

Posljedice skalarnog množenja

• ${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}$
• ${\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}$ ili je bar jedan od vektora ${\overrightarrow {0}}$
• $cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}$ ($0<\omega <\pi$)

Osobine skalarnog proizvoda

• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}\geq 0\ {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=0<=>{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}$
• $\lambda ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}})=(\lambda {\overrightarrow {a}}){\overrightarrow {b}})={\overrightarrow {a}}(\lambda {\overrightarrow {b}})$
• ${\overrightarrow {a}}({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {c}}$

Izvori

• Dot Product
• Dot Product
• Einführung in das Skalarprodukt

Također pogledajte

• Vektorski proizvod
• Vektorski zbir