Skalarni proizvod

Scalarproduct.gif

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

[1]

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjerUredi

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :

 
  • gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

 

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

 

gdje je

 

konjugovano kompleksan broj od  ; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

 

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacijaUredi

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

     

Dokaz geometrijske intepretacijeUredi

Razmotrimo vektor

 

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

 

Dobijeno je isto kao i

 

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1
 

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

 

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

 

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

                    (1)

Ali pošto je cab, također imamo da je

 ,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

                      (2)

Izjednačavanjem dvije cc jednačine, (1) i (2), dobijamo

 

Oduzimanjem aa + bb sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

 

Q.E.D.

Dokaz kosinusne teoremeUredi

Kako je   imamo:

     

Trostruki proizvodUredi

  Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Projekcija vektora na vektorUredi

Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor[2] tj.

  •   skalarna projekcija vektora   na vektor  
  •   skalarna projekcija vektora   na vektor  
  •   vektorska projekcija vektora   na vektor  
  •   vektorska projekcija vektora   na vektor  

Posljedice skalarnog množenjaUredi

  •   [3]
  •  
  •  
  •   ili je bar jedan od vektora  
  •   ( )

Osobine skalarnog proizvodaUredi

  •   [4]
  •  
  •  

IzvoriUredi

ReferenceUredi

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Definicija
  2. ^ projekcija vektora na vektor
  3. ^ skalami proizvod a b= 0
  4. ^ "Osobine" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 12. 5. 2015. Pristupljeno 22. 5. 2016.