Skalarni proizvod

Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Scalarproduct.gif

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

[1]

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjerUredi

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :

 
  • gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

 

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

 

gdje je

 

konjugovano kompleksan broj od  ; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

 

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacijaUredi

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

     

Dokaz geometrijske intepretacijeUredi

Razmotrimo vektor

 

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

 

Dobijeno je isto kao i

 

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1
 

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

 

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

 

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

                    (1)

Ali pošto je cab, također imamo da je

 ,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

                      (2)

Izjednačavanjem dvije cc jednačine, (1) i (2), dobijamo

 

Oduzimanjem aa + bb sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

 

Q.E.D.

Dokaz kosinusne teoremeUredi

Kako je   imamo:

     

Trostruki proizvodUredi

  Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Projekcija vektora na vektorUredi

Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor[2] tj.

  •   skalarna projekcija vektora   na vektor  
  •   skalarna projekcija vektora   na vektor  
  •   vektorska projekcija vektora   na vektor  
  •   vektorska projekcija vektora   na vektor  

Posljedice skalarnog množenjaUredi

  •   [3]
  •  
  •  
  •   ili je bar jedan od vektora  
  •   ( )

Osobine skalarnog proizvodaUredi

  •   [4]
  •  
  •  

IzvoriUredi

ReferenceUredi

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Definicija
  2. ^ projekcija vektora na vektor
  3. ^ skalami proizvod a b= 0
  4. ^ "Osobine" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 12. 5. 2015. Pristupljeno 22. 5. 2016.