Prsten (matematika)

U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:

  1. (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
  • asocijativnost sabiranja:
(a + b) + c = a + (b + c)
(∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
  • ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je
a + (-a) = (-a) + a = 0
  • komutativnost sabiranja
a + b = b + a
  1. (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno
(ab)c = a(bc)
  1. operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

Primjeri

uredi
  • Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
  • Prsten cijelih brojeva s operacijama sabiranja i množenja. To je komutativan prsten
  • Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
  • Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
  • Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
  • Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup   cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.

Osnovni teoremi

uredi

Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je   prsten,   imamo:

  •  
  •  
  •  
  •  , pod uvjetom da su i a i b invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

  • Neutralni element 1 je jedinstven
  • Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
  • Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1

Također pogledajte

uredi