U matematici, komutativnost je mogućnost promjene redoslijeda nečega bez uticaja na krajnji rezultat. To je fundamentalna osobina mnogih binarnih operacija kroz cijelu matematiku, te mnogi dokazi zavise od nje. Komutativnost jednostavnih operacija, kao što su množenje ili sabiranje brojeva, bile su korištene godinama kao osobina koja nije imala ime sve do 19. vijeka, kada su matematičari počeli raditi na teoriji matematike.

Primjer koji pokazuje komutativnost sabiranja (3 + 2 = 2 + 3)

Matematičke definicije

uredi

Termin "komutativan" se koristi u više sličnih konteksta.[1][2]

1. Binarna operacija ∗ na skupu S je komutativna ako je:

 
- Za operaciju, koja ne zadovoljava gornju osobinu, kažemo da nije komutativna.

2. Može se reći da je x komutativno sa y pod ∗ ako je:

 

3. Binarna funkcija f:A×AB je komutativna ako je:

 

Slične osobine

uredi
 
Grafik koji pokazuje simetriju funkcije sabiranja

Asocijativnost

uredi

Osobina asocijativnosti je usko vezana sa osobinom komutativnosti. Osobina asocijativnosti kaže da redoslijed, u kojem se operacije izvršavaju, ne utiče na konačni rezultat. U suprotnosti, osobina komutativnosti kaže da redoslijed članova ne utiče na krajnji rezultat.

Simetrija

uredi

Simetrija se može direktno povezati sa komutativnosti. Kada se komutativni operator napiše kao binarna funkcija, tada je rezultirajuća funkcija simetrična u odnosu na liniju y = x. Kao primjer, ako imamo funkciju f koja predstavlja sabiranje (komutativna operacija) tako da je f(x,y) = x + y, tada je f simetrična funkcija koja se može vidjeti na slici desno.

Primjeri

uredi

Komutativne operacije u svakodnevnom životu

uredi
  • Oblačenje cipela predstavlja komutativnu operaciju, pošto nije bitno da li ubučete prvo lijevu ili desnu cipelu, jer je krajnji rezultat (obučene obe cipele), isti.

Komutativne operacije u matematici

uredi

Dobro poznati primjeri komutativnih binarnih operacija su:[1]

 
Na primjer 4 + 5 = 5 + 4, pošto su oba izraza jednaka 9.
 
Na primjer, 3 × 5 = 5 × 3, pošto su oba izraza jednaka 15.

Zabilješke

uredi
  1. ^ a b Krowne, p.1
  2. ^ Weisstein, Commute, p.1

Reference

uredi

Knjige

uredi
  • Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.
Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

Članci

uredi
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Online izbori

uredi
Article giving the history of the real numbers
Page covering the earliest uses of mathematical terms
Biography of Francois Servois, who first used the term

Također pogledajte

uredi