Racionalni broj

Racionalni brojevi su svi mogući brojevi koje možemo napisati u obliku razlomaka, tj. a/b, gdje je a cijeli broj, koji zovemo brojnikom, a b je prirodan broj, koji nazivamo nazivnikom.

Skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek bila moguća na skupu cijelih brojeva $\mathbb {Z}$. Ako su a,b,c$\in \mathbb {Z}$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva: Skup racionalnih brojeva$\mathbb {Q}$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu $\mathbb {Z}$ x $\mathbb {N}$, odnosno $\mathbb {Q}$={m/n: m$\in \mathbb {Z}$, n$\in \mathbb {N}$} Dok su skupovi $\mathbb {N}$ i $\mathbb {Z}$ diskretni, skup $\mathbb {Q}$ je gust (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Za brojanje raznih predmeta i životinja dovoljni su cijeli brojevi, djeca broje jabuke i kruške, također, cijelim brojevima, ali ako jednu jabuku treba da podijeli dvoje djece onda je svako od njih dobio pola jabuke . To pišemo sa 1/2.

Da je trebalo jabuku dijeliti na tri dijela, pisali bi da je svatko dobio 1/3 jabuke.
Dakle, skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva $\mathbb {Z}$.

Ako su a,b,c$\in \mathbb {Z}$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva:

Skup racionalnih brojeva$\mathbb {Q}$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu $\mathbb {Z}$ x $\mathbb {N}$, odnosno $\mathbb {Q}$={m/n: m$\in \mathbb {Z}$, n$\in \mathbb {N}$} Dok su skupovi $\mathbb {N}$ i $\mathbb {Z}$ diskretni, skup $\mathbb {Q}$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Definicija

Skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$ je skup svih klasa ekvivalencije na skupu $\mathbb {Z} x\mathbb {N} ,$ odnosno

$\mathbb {Q} =$ {${\frac {m}{n}}$ $m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N}$}

Dok su skupovi $\mathbb {N}$ i $\mathbb {Z}$ diskretni, skup $\mathbb {Q}$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Sabiranje

U skupu $\mathbb {Q}$ definisano je sabiranje

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ za $b\neq 0$ $d\neq 0$

Osobine sabiranja

Radi lakšeg pisanja uvedimo oznaku

${\frac {a}{b}}=r$

$r_{1}+r_{2}=r_{2}+r_{1}$ komutativnost

$(r_{1}+r_{2})+r_{3}=r_{1}+(r_{2}+r_{3})$ asocijativost

$r+(-r)=0$ inverzan broj

Brojevi ${\frac {a}{b}}$ i $-{\frac {a}{b}}$ su suprotni

$r+0=r$ neutralan elemenat

Oduzimanje

Kao i u skupu cijelih brojeva $\mathbb {Z}$ oduzimanje se svodi na sabiranje

$r_{1}-r_{2}=r_{1}+(-r_{2})$

Množenje

U skupu $\mathbb {Q}$ definisano je množenje

${\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ za $b\neq 0$ $d\neq 0$

Osobine množenja

$r_{1}*r_{2}=r_{2}*r_{1}$ komutativnost

$(r_{1}*r_{2})*r_{3}=r_{1}*(r_{2}*r_{3})$ asocijativnost

$r*{\frac {1}{r}}=1$ inverzan broj

$r*1=r$ neutralan elemenat

$r*(-1)=-r$

$r*0=0$

${\frac {0}{a}}=0$

$r_{1}(r_{2}+r_{3})=r_{1}*r_{2}+r_{1}*r_{3}$ distribucija množenja u odnosu na dijeljenje

Dijeljenje

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}*{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Upoređivanje

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}=>ad<bc$

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}=>ad=bc$

${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}=>ad>bc$

Dvojni razlomak

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}$

Proširivanje i skračivanje razlomaka

${\frac {a}{b}}={\frac {am}{bm}}$ proširivanje razlomaka

${\frac {an}{bn}}={\frac {a}{b}}$ skraćivanje razlomaka