Kompleksan broj

(Preusmjereno sa Kompleksni brojevi)
malo

Kompleksni brojevi su oni brojevi koji proširuju skup realnih brojeva na način da jednačina ima rješenje. Ono je moguće uvođenjem novog imaginarnog broja koji ima osobinu . Ovaj broj označava se kao imaginarna jedinica. U elektrotehnici za njegovo označavanje koristi se slovo , kako bi se izbjegla zabuna sa oznakom za jačinu struje zavisne od vremena (koja se označava sa ili ).

Pojam "kompleksnih brojeva" uveo je Carl Friedrich Gauß 1831. u djelu Theoria residuorum biquadraticorum. Međutim, temelje teorije kompleksnih brojeva postavio je italijanski matematičar Gerolamo Cardano u djelu Ars magna objavljenom u Nürnbergu 1545. te Rafael Bombelli u djelu L'Algebra objavljenom u Bologni 1572. a napisanom između 1557. i 1560.[1] Uvođenje imaginarne jedinice kao novog broja pripisuje se Leonhardu Euleru.

DefinicijeUredi

U skupu realnih brojeva   jednačina   ima dva rješenja

 

Slična jednačina   u skupu   nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica   definisana na sljedeći način   tj

 . Iz ove definicije slijedi

 .[2]

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

 

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i2 = -1.

Realni broj   se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa  , a   se naziva imaginarni dio i označava se sa  .

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj.  .

Povremeno se moze naići na definiciju  . U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat.  . U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja  imamo:   što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi   realnih brojeva.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja   .

S druge strane, zapis oblika   pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

  i

  potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva   je skup svih brojeva oblika  , gdje su  .

Posebno je  .

  je realni dio kompleksnog broja  ,

  je imaginarni dio kompleksnog broja  .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

  za  

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

 

pri čemu je

  modul

  argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

  za  

pri čemu je

  modul

  argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

 

Konjugirano kompleksni broj broja   je broj  .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja   je nenegativni realni broj  .

Operacije s kompleksnim brojevimaUredi

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su   i   dva kompleksna broja.

 [2]

i oduzimanje

 

Osobine sabiranja kompleksnih brojevaUredi

  za   komutativnost sabiranja

  za   asocijativnost sabiranja

  za   neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj  

  postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj   [3]

Množenje kompleksnih brojevaUredi

Neka su   i   dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje  

Osobine množenja kompleksnih brojevaUredi

  za   komutativnost množenja

  za   asocijativnost množenja

  za   neutralni element   za množenje

  postojanje reciproćnog elemanta

  za   distributivnost množenja u odnosu na sabiranje [3]

Realan proizvod dva kompleksna brojaUredi

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva   i  , u oznaci  ,je realan broj određen kao

 

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima   i  Lako je provjeriti da je

 

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.   (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima   i  )

Realan proizvod kompleksnih brojeva   i   jednak je potenciji koordinantnog početka   kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik  , gdje su   i   tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima   i  .

Tačka   je sredina duži AB određena kompleksnim brojem  , potencija tačke   u odnosu na krug sa središtem u tački   i poluprečnikom

  jednaka je

 

Neka su tačke  , , ,  taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima  ,  ,  ,  . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Središte kružnice opisane oko trougla   nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena  ,  ,   trougla   određena kompleksnim brojevima  ,  ,   respektivno, tada je ortocentar   tog trougla određen kompleksnim brojem  .

Kompleksan proizvod dva kompleksna brojaUredi

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

  nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva   i  .

Neka su   i   tačke određene kompleksnim brojevima   i   Lako je provjeriti da je

 

Neka su  ,  ,   kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

  1.  
  2.   gdje je  
  3.  
  4.   (   )

Ako su   i   dvije različite tačke različite od  , tada je   onda i samo onda ako su  ,  ,  kolinearne tačke.

Neka su  ) i  ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva   i   ima sljedeći geometrijski smisao

  Neka su  ,   i   tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

 

Neka su  ,   i   tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

  1. Tačke  , ,  su kolinearne
  2.  
  3.  

Neka su  ,  ,   i   četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je   onda i samo onda ako je  

Dijeljenje kompleksnih brojevaUredi

 

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

 

Neka je   bilo koji. Onda je   pa je dobro definisan broj

 

 

imamo

 

 

Konjugovano kompleksni brojeviUredi

Kompleksan broj   nazivamo konjugovanim broju  .[4]

Brojevi   i   čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

 

 

Lako se provjerava da vrijedi

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   [3]

Neka je   trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

 

 

 

 [4]

Na ovaj način dobijamo opći oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

  ili

 [4]

Stepenovanje kompleksnog brojaUredi

  za  .

 

 

 

Potencije imaginarne jediniceUredi

 

 

 

 [5]

Korjenovanje kompleksnog brojaUredi

  za  

gdje je

  za  

  za  

Kvadratni korjen imaginarnog brojaUredi

 

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

 

 

Dobijamo dvije jednačine

 

čija su rješenja

 

Izbor glavnog korjena daje

 

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

 

 

Apsolutna vrijednost argumentaUredi

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja   je

 

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

  [3]
 

Množenje i dijeljenje u polarnom oblikuUredi

Iz trigonometrijskih identiteta

 

 

imamo

 

Primjer

 

 

Dijeljenje

 

Trigonometrijski oblik kompleksnog brojaUredi

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

 

 , za   i   za  ; kada je   onda je  , ako je   i  , ako je  

Broj   se naziva modul kompleksnog broja , a   је argument kompleksnog broja

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

  i  

onda je [6]

Sada, kada smo odredili brojeve, mogu se pomnožiti:  

 

 

 

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

  i  

  [6]

u općem slučaju važi  

 

De Moavrova formulaUredi

Neka je   trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

 

 

 

 

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

  [7]

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Helmuth Gericke (1970). Geschichte des Zahlbegriffs. Mannheim: Bibliographisches Institut. str. 57–67.
  2. ^ a b Kompleksni brojevi Archived 2017-04-07 na Wayback Machine, na stranici Fakulteta elektrotehnike, mašinstva i brodogradnje Univerziteta u Splitu, pristupljeno 10. jula 2017. (hr)
  3. ^ a b c d Skup kompleksnih brojeva, pristupljeno 10. jula 2017. (hr)
  4. ^ a b c Konjugovano kompleksni broj kompleksnog broja, na stranici Elektronskog fakulteta Univerziteta u Nišu, (sr)
  5. ^ Tin Perkov, Mandi Orlić: Formule iz Matematike I, Tehničko veleučilište u Zagrebu, (hr)
  6. ^ a b Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014, (sr)
  7. ^ De Moavrova formula, 21. februar 2014. (sr)

IzvoriUredi

  1. Kompleksni brojevi
  2. Kompleksni brojevi
  3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
  4. Skup kompleksnih brojeva
  5. Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja, 21. februar 2014
  6. Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014.
  7. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja, 17. februar 2014.

Vanjski linkoviUredi

  1. A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers