Podudarnost (geometrija)
U geometriji dvije figure su identične ako imaju istu veličinu i oblik.
Dvaskupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne mijenja veličina i oblik.
Podudarnost se označava sa
U osnovnoj geometrije riječ jednako često se koristi umjesto podudaran.[1] Podudaran ima značenje:
Aksiome podudarnosti
urediAksiome podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relaciju uvodimo kao polazni pojam.
- Aksiom 1
Ako je i , tada je i .
- Aksiom 2
Za svake dvije tačke i je .
- Aksiom 3
Ako je i tada je
- Aksiom 4
Ako su C i C' tačke otvorenih duži AB i A'B', takve da je i , tada je i
- Aksiom 5
Ako su A i B dvije tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka D takva da je
- Aksiom 6
Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke i tačke ruba neke poluravni , takve da je tada u toj poluravni postoji jedinstvena tačka C' takva da je i
- Aksiom 7
Ako su A, B, C i A', B', C' dvije trojke nekolinearnih tačaka i D i D' tačke polupravih BC i B'C' takve da je , , i , tada je i
Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.
- relacija je refleksivna.
- Neka je [ ] => relacija je simetrična
- i [slijedi na osnovu simetričnosti]
- Teorema 1
Ako su A i B dvije tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka D takva da je '
- Teorema 2
Ako su A,B,C tri razne tačke prave p i A',B' dvije tačke prave p' takve da je , tada postoji jedinstvena tačka C' takva da je A',B' i .
Pri tome, tačka C' pripada pravoj p' i:
- ako je , tada je
- ako je ako je , tada je
- ako je ako je , tada je
- Definicija 1
Kažemo da je uređena n-torka tačaka podudarna sa n- torkom u oznaci
ako je za svako
- Definicija 2
Neka su A i B dvije razne tačke neke ravni . Skup svih tačaka te ravni takvih da je ,naziva se krug, u oznaci , sa centrom A i čiji je poluprečnik duž AB.
Podudarnost duži
urediAko su dvije duži AB i CD su podudarne označavamo sa ,
- Teorema 3
,
- Definicija 3
Tačka S je središte duži ako pripada toj duži i važi
- Teorema 4
Za svaku duž postoji jedinstveno središte.
- Definicija 4
Duž AB je manja od duži CD u oznaci AB < CD ako unutar duži CD postoji tačka E takva da je AB ≅ CE. Takođe u tom slučaju kažemo i da je duž CD veća od duži AB u oznaci CD > AB.
- Definicija 5
Duž EF jednaka je zbiru duži AB i CD u oznaci EF = AB + CD ako unutar duži EF postoji tačka G takva da je AB≅EG CD ≅GF.
Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja
Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravih
urediDva konveksna ili konkavna ugla i su podudarna ako i samo ako na kracima i , redom postoje tačke takve da je: ).
- Teorema 5
- Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
- Za svaki ∠pq i svaku polupravu p' neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži p', jedinstvena poluprava q' takva da ∠pq ≅ ∠p'q'.
- Teorema 6
Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu
- Definicija 5
Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci ako unutar ugla CSD postoji poluprava SE takva da je . U tom slučaju kažemo ia je ugao CSD veći od ugla AOB u oznaci .
- Definicija 6
Uglom dviju mimoilaznih pravih p i q u prostoru nazivamo ugao što ga određuju njima paralelene prave a i b koje se sjeku u nekoj tački O. Specijalno, ako je ugao dviju mimoilaznih pravih u prostoru prav, tada kažemo da su prave i q normalne među sobom, i simbolički označavamo sa
- Teorema 7
- Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
- Pravi uglovi su među sobom podudarni.
- Postoji jedna i samo jedna prava koja siječe svaku od dvije mimoilazne prave a i b pod pravim uglom.
Podudarnost mnogouglova
urediDva podudarna mnogougla imaju isti broj stranica i vrhova.[2]
Dva mnogougla sa n strana podudarna su ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake, odnosno ako postoji izometrija takva da je A = A1.
Vrhovi jednog mnogougla preslikavaju se na vrhove drugog. Kod podudarnih mnogouglova svaka dva odgovarajuća ugla i svake dvije odgovarajuće stranice jednaki su.
Dijagonale povučene iz ugla prvog mnogougla i odgovarajućeg ugla drugog mnogougla dijele te mnogouglove na podudarne trouglove. Kod dva podudarna petougla imamo:
AB = A1B1
BC = B1C1
CD = C1D1
DE = D1 E1
EA = E1A1.
Podudarnost nekih pravilnih četveuglova
uredi- Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice i jedan ugao.
- Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dvije susjedne ivice.
- Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
- Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.
Podudarnost trouglova
urediDva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine,odgovarajući uglovi jednake veličine. Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisujemo
Određivanje podudarnostosti
uredi- SUS
Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj:
- SSS
Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.
Dokaz:
Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je . Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj.
Postoji izometrija te ravni, koja tačke A,B,C preslikava redom u tačke A', B', C'. Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao ABC u trougao A'B'C', pa je
- USU
Dvatrougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj:
- SSU
Dva trougla su podudarna ako su dvije ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla [3]