Otvori glavni meni
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Trokut

Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao .

Vrste trouglovaUredi

Trouglovi se mogu razlikovati po unutrašnjim uglovima:

Pravougli trougaoUredi

Glavni članak: Pravougli trougao
Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
Obim je
 
Površina je
 

Prečnik opisanog kruga : 

Tupougli trougaoUredi

Glavni članak: Tupougli trougao

Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni (tupi ugao).

Oštrougli trougaoUredi

Glavni članak: Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manje od 90 stepeni (kosi uglovi).

Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Jednakostranični trougaoUredi

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

 
 
Obim  
Površina  
Visina  
Poluprečnik opisanog kruga  
Poluprečnik upisanog kruga  

Jednakokraki trougaoUredi

Glavni članak: Jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica

 
 
Obim  
Površina je  
Visina  

Raznostranični trougaoUredi

Glavni članak: Raznostranični trougao

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti.

 
 
Poluprečnik opisamog kruga  

Obim trouglaUredi

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

 

Obim jednakokrakog trougla je

 

Obim istostraničnog trougla je

 

PovršinaUredi

  • Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
P = (b·h)/2,
 
Grafički prikaz površine trougla



Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):   gdje je   poluobim trougla;  

 
 
Neka su date koordinate vrhova trougla  ,  ,  površina trougla je
 

Osobine trouglova (teoreme)Uredi

  • Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
 .

Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;

Zbir spoljašnjih uglova iznosi  .
 .
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
 
 
 
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.
 
 
 
  • Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
  • Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
 
  • U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
 

Značajne tačke trouglaUredi

Centar opisane kružnice trougla   nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je
 
Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.
Centar upisane kružnice trougla   nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je
 
Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
 
 
 
 
Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla
 

Sličnost trouglaUredi

Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
 ;   : 
Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
 ; < 
Ako se stranice dva slična trougla odnose kao :  tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu : , a površine se odnose kao : .
Ako je dužina hipotenuze   onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo
 
 
 

Trougao u kompleksnoj ravniUredi

Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi   i   su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je  

Dokaz

  onda i samo onda ako je  

  i  

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

 


Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom

 

Lako je provjeriti da za trouglove  ,  ,   i   ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena   trougla   određena su kompleksnim brojevima   respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1.   je jednakostraničan trougao
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   gdje je  
  6. (z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za  
  7.  

Ako su tjemena   pozitivno orjentisanog trougla   sljedeća tvrđenja su ekvivalentna

  1.   je jednakostraničan trougao
  2.   za  
  3.   za  
  4.  [1]

Također pogledajteUredi


  Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

ReferenceUredi

  1. ^ Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.