Relacija ekvivalentnosti

U matematici, relacija ekvivalentnosti je binarna relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Relacija "jednak je" je kanonski primjer relacije ekvivalencije, gdje za bilo koje objekte a, b i c važi:

• a = a (refleksivno svojstvo),
• ako je a = b onda je b = a (simetrično svojstvo), i
• ako su a = b i b = c onda je a = c (tranzitivno svojstvo).

52 relacije ekvivalentnosti u skupu s 5 elemenata, prikazano kao 5×5 logičkih matrica (obojena polja, uključujući ona u svijetlosivoj boji, predstavljaju jedinice; bijela polja predstavljaju nule.) Indeksi redova i kolona bijelih ćelija su povezani elementi, dok različite boje, osim svijetlo sive, označavaju klase ekvivalencije (svaka svijetlosiva ćelija je svoja klasa ekvivalencije).

Kao posljedica refleksivnih, simetričnih i tranzitivnih svojstava, bilo koja relacija ekvivalencije pruža particiju temeljnog skupa u odvojene klase ekvivalencije. Dva elementa datog skupa jednaki su međusobno ako i samo ako pripadaju istoj klasi ekvivalencije.

Notacija

U literaturi se koriste različite oznake za označavanje da su dva elementa skupa a i b jednaka u odnosu na relaciju ekvivalencije R; najčešće oznake su "a ~ b" i "a ≡ b", koje se koriste kada je R implicitan, a varijacije "a ~_R b", "a ≡_R b" ili "aRb" da se eksplicitno odredi R. Neekvivalencija se može označiti kao "a ≁ b" ili "$a\not \equiv b$".

Definicija

Za određenu binarnu relaciju ~ u skupu X kaže se da je to relacija ekvivalencije ako i samo ako je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna. To jest za sve a, b i c u skupu X:

• a ~ a (Refleksivnost)
• a ~ b ako i samo ako je b ~ a. (Simetrija)
• ako su a ~ b i b ~ c, onda a ~ c. (Tranzitivnost)

X zajedno s relacijom ~ naziva se setoid. Klasa ekvivalencije od $a$ sa ~, označeno kao $[a]$, je definirana kao $[a]=\{b\in X\mid a\sim b\}$.

Primjeri

Jednostavan primjer

Neka set $\{a,b,c\}$ ima relaciju ekvivalencije $\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$. Onda su sljedeći skupovi klase ekvivalencije ovog odnosa:

$[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}$.

Skup svih klasa ekvivalencije za ovaj odnos je $\{\{a\},\{b,c\}\}$ . Ovaj skup je particija skupa $\{a,b,c\}$ .

Reference

• (en) Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8ISBN 1-4196-2722-8.
• (en) Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
• (en) Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• (en) Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• (en) John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• (en) Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
• (en) Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.