Krug

Za druga značenja, pogledajte Krug (čvor).

Krug s centrom O i poluprečnikom (radijusom) r je geometrijsko mjesto tačaka ravni čija rastojanja od tačke O nisu veća od r, tj. to je skup tačaka M ravni u kojoj leži tačka O i za koje važi $OM\leq r$. Krug je zatvoren skup tačaka ravni, čija je granica periferija kruga, tj. kružnica.

• • Veliki krug lopte (sfere) je krug koji se dobija presjekom lopte sa ravni koja prolazi kroz njen centar. Poluprečnik V.k.l. je jednak poluprečniku lopte. Kroz svake dvije tačke lopte koje nisu krajevi njenog prečnika prolazi samo jedan V.k.l. Bilo koja dva V.k.l. sjeku se u dvjema dijametralno suprotnim tačkama lopte.
  • U našoj matematičkoj terminologiji se pod pojmom krug ponekad podrazumijeva i kružnica (dakle kriva).
  • Krug krivine (diferencijalna geometrija) je isto što i oskulatorni krug, tj. oskulatorna kružnica.

Krug

Ostale definicije

• Krug konvergencije stepenog reda:

$a_{0}+a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+...+a_{n}(z-c)^{n}+...\,$

je krug poluprečnika R s centrom u tački z-c kompleksne ravni u čijim svim unutrašnjim tačkama (|z-a|<R) stepeni red apsolutno konvergira. Poluprečnik R kruga konvergencije se naziva poluprečnik konvergencije stepenog reda. Na rubu kruga konvergencije stepenog reda postoji singularna tačka. Može se desiti da poluprečnik konvergencije stepenog reda bude nula ili beskonačan. Kad je on beskonačan, stepeni red konvergira u svakoj tački kompleksne ravni. Za svaki stepeni red oblast konvergencije je uvijek krug iz kojeg se eventualno isključuje neki skup tačaka na njegovom rubu.

Slobodne definicije

U euklidskoj planimetriji, krug je skup svih tačaka u ravni na jednakom rastojanju, koje se zovu poluprečnik ili radijus, od jedne tačke, koja se zove centar. Krugovi su proste zatvorene krive, koje dijele ravan na unutrašnjost i spoljašnjost. Ponekad se riječ krug koristi da naznači unutrašnjost, dok se kružnica naziva obimom, međutim, obično obim predstavlja dužinu kružnice.

Analitička geometrija

U x-y koordinatnom sistemu, krug sa centrom (p, q) i poluprečnikom r je skup svih tačaka (x, y) tako da

$\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}=r^{2}.$

Ako je krug sa centrom u koordinatnom početku, tj. (0, 0), onda se ova formula može uprostiti do

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.\,$

Krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom 1 se zove jedinični krug.

Izražen u polarnim koordinatama, (x,y) može da se zapiše kao

$x=p+r\cdot \cos(\phi )$

$y=q+r\cdot \sin(\phi )$.

Nagib kruga može da se izrazi sljedećom formulom:

$y'=-{\frac {x}{y}}.$

Svi krugovi su slični; kao posljedica, obim kruga i njegov poluprečnik su proporcionalni, kao što su njegova površina i kvadrat poluprečnika. Konstanta proporcionalnosti je 2π i π, redom. Drugim riječima:

• Obim kružnice = $2\pi r.\,$
• Površina kruga = $\pi r^{2}.\,$

Približno određivanje površine putem poligona

Formula za površinu kruga može da se izvede iz formula za obim kruga i površinu trougla na sljedeći način. Zamislite pravilni šestougao podijeljen na jednake trouglove, sa njihovim vrhovima u centru šestougla. Površina šestougla može da se nađe u formuli površine trougla, tako što se sabiraju dužine osnovica svih trouglova, množe se dužinom visine trouglova (dužina od sredine osnovice do centra) i dijele sa 2. Ovo je aproksimacija površine kruga. Onda zamislite istu situaciju, ali sa osmouglom i aproksimacija će biti malo bliža površini kruga. Kako se pravilni mnogougao sa sve više stranica dijeli na trouglove, to se i površina mnogougla sve više bliži površini kruga. U graničnoj vrijednosti, zbir svih osnovica se približava obimu 2πr, a visina trouglova se približava poluprečniku r. Kada se pomnože obim i poluprečnik i podijele sa dva, dobija se površina πr².

Osobine

Linija koja sječe krug u dvje tačke je sječica ili sekanta, a linija koja dodiruje krug u jednoj tački je tangenta. Tangentne linije su uvijek pod pravim uglom sa poluprečnicima, segmentima koji spajaju centar sa tačkom na kružnici, čija se dužina poklapa sa definicijom od iznad. Dio sječice ograničen krugom se zove tetiva, a najduža tetiva je ona koje prolazi kroz centar i zove se prečnik ili dijametar i čine ga dva poluprečnika. Površina dijela kruga odsečenog tetivom se naziva kružni odsječak.

Moguće je naći najveći broj jedinstvenih odsječaka koje stvaraju tangente između tačaka na kružnici.

Ako je poznat samo krug (ili njegov dio), onda njegov centar može da se konstruiše na sljedeći način: uzmu se dvije ne-paralelne tetive, konstruišu se kružne linije na njihovim središtima i pronađe se presječna tačka tih linija. Poluprečnik takvog parcijalnog kruga može da se izračuna iz dužine (L) tetive i udaljenosti (D) od središta tetive do najbliže tačke na krugu po raznim formulama, uključujući:
(iz matematičkog izvođenja)

$r={\frac {(L/2)^{2}+D^{2}}{2D}}$

(iz matematičkog izvođenja)

${\mbox{r}}={{L} \over {\sin \pi -2\tan ^{-1}({{L} \over {D}})}}.$

Dio obima ograničen sa dva poluprečnika se zove luk, a površina (tj. kriška diska) u okviru tih poluprečnika i luka se zove kružni isječak. Odnos dužine luka i poluprečnika definiše ugao između dva poluprečnika u radijanima.

Formula za dužinu kružnog luka (gde je α centralni ugao nad lukom):

$l={{r\pi \alpha } \over {180^{\circ }}}$

Formula za površinu kružnog isječka:

$P={{r^{2}\pi \alpha } \over {360^{\circ }}}$

Svaki trougao može da ima više krugova: opisani krug koji sadrži sva tri tjemena trougla, upisani krug koji je unutar trougla i dodiruje sve tri stranice, tri spoljašnja kruga koji su izvan trougla i dodiruju jednu stranicu i nastavke druge dvije i krug devet tačaka koji sadrži razne važne tačke trougla. Talesova teorema navodi da ako se tri tjemena trougla nalaze na krugu gde je jedna strana trougla prečnik kruga, onda je suprotni ugao od te stranice pravi ugao.

Za svake tri različite tačke koje leže y ravni, a istovremeno ne leže na pravoj, postoji tačno jedan krug čija kružnica sadrži te tačke (to je zapravo opisani krug trougla kojeg definišu te tačke). Za tri određene tačke <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)>, jednačina ovog kruga je prikazana na jednostavan način koristeći matričnu determinantu:

$\det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.$

Krug je vrsta presjeka kupe, sa nultim ekscentricitetom. U topologiji sve proste zatvorene krive su homeomorfne krugovima, a riječ krug se često primjenjuje na njima kao posljedica. Trodimenzionalni analog krugu je lopta (telo) ili sfera (površ).

Kvadratura kruga se odnosi na (nemogući) zadatak konstruisanja, za dati krug, kvadrata sa jednakom površinom koristeći samo linijar i šestar. Kvadratura kruga Tarskog je, nasuprot, zadatak dijeljenja kruga na konačno mnogo dijelova i spajanja tih dijelova da bi se načinio kvadrat iste površine. Zbog aksiome izbora, ovo je zaista moguće.

Trodimenzionalna tijela čiji su presjeci u nekim ravnima krugovi uključuju lopte, sferoide, valjkove i kupe.

Također pogledajte

• Jedinični krug
• Dekartov teorem
• Odnos obima i dijametra kruga
• Pi

Vanjski linkovi

• Klifordove teoreme o krugu
• Mančing o krugovima