Relacija (matematika)

Neka je zadan skup , onda je

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.

DefinicijaUredi

Binarna relacija   između dva skupa   i   je podskup kartezijevog proizvoda

   

Važnije binarne relacijeUredi

Refleksivna relacijaUredi

Za relaciju   kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je   za   tj ako R sadrži dijagonalu  

 

AntirefleksivnostUredi

 

Simetrična relacijaUredi

Za relaciju   kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je   onda je i   tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali  

 

Tranzitivne relacijeUredi

Za relaciju   kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je   onda je   tj

 

Antisimetrična relacijaUredi

Za relaciju   kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu ako je   onda je   tj

 

Zakon trihitomijeUredi

Za binarnu relaciju   zadanu na skupu   kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

 

Relacija ekvivalencijeUredi

Relacija ekvivalencije je relacija koja je:

  1. Refleksivna
  2. Simetrična
  3. Tranzitivna

Primjer biti paralelan

  po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

 

 

Ako je   relacija ekvivalencije na skupu   i   iz   onda skup svih elemenata   iz   za koje vrijedi   zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa   u odnosu na relaciju   i označavamo sa   tj

Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu   određuje rastavljanje skupa   na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa   određuje u   relaciju ekvivalencije.

Ako je   relacija ekvivalencije u skupu   onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju   označavamo sa   i nazivamo kvocijentni skup skupa   modulo  .

Neka je data ravan  , prava   i tačke   u toj ravni. Tačke   ne leže na pravoj  . Prava   siječe duž   ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži  .

Uređajna relacijaUredi

Relacija   zove se relacija parcijalnog uređenja skupa  , a skup   parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju   ako je ona

  • refleksivna
  • tranzitivna
  • antisimetrična

Relacija je relacija strogog poretka (striktnog uređenja) ako je:

  • antirefleksivna
  • antisimetrična
  • tranzitivna

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija   je linearno uređena relacija

 

  &   onda je  

ako je   &   onda je i  

U elementarnoj matematici postoje tri osnovne relacije uređenje(poretka):

  1.   (Primjer:   "2 je manje od 3")
  2.   (Primjer:   "3 ije jednako 3")
  3.   (Primjer:   "3 ije veće od 2")

za  .

Dva realna broja su određena tačno jednom relacijom uređenja

  •  , ako je   ili   (Primjer:  )
  •  , ako je   ili   (Primjer:  )
  •  , ako je   ili   (Primjer:  )

za  .

Za binarnu relaciju   definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je  uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je   &  

Neka je   uređajna relacija u skupu   ako su   elementi iz   i vrijedi   kažemo da je   predhodnik elementa  , a ako vrijedi   onda je   sljedbenik elementa   s obzirom na relaciju  .

Neka je   uređajna relacija u   i neka je   podskup od   onda ako u   postoji takav element   da za svako   iz   vrijedi   onda   nazivamo minoranta donja granica skupa  .

Analogno ako postoji   iz   da za svako   iz   vrijedi a  . onda   nazivamo majoranta gornja granica skupa  .

Nekaj je   uređajna relacija skupa   i ako je   podskup od   skup svih mjoranata skupa   označimo ga sa  , a skup svih majoranata skupa   označimo sa  . Ako postoji   zovemo ga infinum od A (oznaka  ), a ako postoji   zovemo supremum oznaka  .

Inverzna relacijaUredi

Inverzna relacija definisana na relaciji   je

 
Primjer 1

Inverzni odnos odnos "suprug od" o odnosu "njegova supruga."

Primjer

Inverzni odnos odnosa "manje od" je "veće od".

Primjeri relacijaUredi

IzvorUredi

Skupovi, relacije, funkcije

LinkoviUredi

  1. Relation – Mathe für Nicht-Freaks
  2. Binäre Relation – Mathe für Nicht-Freaks



  Nedovršeni članak Relacija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.