Operacija (matematika)

U matematici, operacija je funkcija koja uzima nula ili više ulaznih vrijednosti (također se nazivaju "operandi" ili "argumenti") na dobro definiranu izlaznu vrijednost. Broj operanda je aritet operacije.

Elementarne aritmetičke operacije:
  • +, plus (sabiranje)
  • −, minus (oduzimanje)
  • ÷, obelus (dijeljenje)
  • ×, times (množenje)

Najčešće proučavane operacije su binarne operacije (tj. operacije aritnosti 2), kao što su sabiranje i množenje, i unarne operacije (tj. operacije arity 1), kao što su aditivna inverzija i multiplikativna inverzija. Operacija ariteta nula, ili nulska operacija, je konstanta.[1][2] Mješoviti proizvod je primjer operacije aritnosti 3, koja se također naziva ternarna operacija.

Općenito, aritnost se uzima kao konačna. Međutim, infinitarne operacije se ponekad razmatraju,[1] u kom slučaju se "uobičajene" operacije konačne arititnosti nazivaju finitarne operacije.

Djelimična operacija je definirana slično operaciji, ali sa djelimičnom funkcijom umjesto funkcije.

Tipovi operacijaUredi

 
Binarna operacija uzima dva argumenta:   i   i vraća rezultat  .

Postoje dva uobičajena tipa operacija: unarna i binarna. Unarne operacije uključuju samo jednu vrijednost, kao što su negacija i trigonometrijska funkcija.[3] Binarne operacije, s druge strane, uzimaju dvije vrijednosti i uključuju sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje i eksponencijacija.[4]

Operacije mogu uključivati matematičke objekte osim brojeva. logičke vrijednosti "tačno" i "netačno" mogu se kombinirati korištenjem logičkih operacija, kao što su i, ili i ne. Vektori se mogu dodavati i oduzimati.[5] Rotacije se mogu kombinovati pomoću operacije funkcija sastavljanja, izvodeći prvu rotaciju, a zatim drugu. Operacije na skupove uključuju binarne operacije unija i presjeka i unarnu operaciju komplementacija.[6][7][8] Operacije na funkcijama uključuju sastavljane i konvoluciju.[9][10]

Operacije ne moraju biti definirane za svaku moguću vrijednost njenog domena. Naprimjer, u realnim brojevima se ne može dijeliti sa nulom [11] ili uzeti kvadratni korijen negativnih brojeva. Vrijednosti za koje je definirana operacija formiraju skup koji se naziva "domen definicije" ili "aktivni domen". Skup koji sadrži proizvedene vrijednosti naziva se kodomen, ali skup stvarnih vrijednosti koje se postižu operacijom je njegov kodomen definicije, aktivni kodomen, slika ili opseg.[12] Naprimjer, u realnim brojevima, operacija kvadriranja proizvodi samo nenegativne brojeve; kodomen je skup realnih brojeva, ali raspon su nenegativni brojevi.

Operacije mogu uključivati različite objekte: vektor se može pomnožiti sa skalarom da bi se formirao drugi vektor (operacija poznata kao skalarno množenje),[13] a operacija unutrašnji proizvod na dva vektora proizvodi količinu koja je skalarna.[14][15] Operacija može, ali i ne mora imati određena svojstva, naprimjer može biti asocijativna, komutativna, antikomutativna, idempotentna, itd.

Kombinirane vrijednosti nazivaju se operandi, argumenti ili ulazi, a proizvedena vrijednost naziva se vrijednost, rezultat ili izlaz. Operacije mogu imati manje ili više od dva ulaza (uključujući slučaj nultog ulaza i beskonačno mnogo ulaza[1]).

Operator je sličan operaciji po tome što se odnosi na simbol ili proces koji se koristi za označavanje operacije; stoga je njihova tačka gledišta drugačija. Naprimjer, često se govori o "operaciji sabiranja" ili "operaciji adicije", kada se fokusira na operande i rezultat, ali se prebacuje na "operator sabiranja" (rijetko "operator sabiranja"), kada se fokusiramo na proces , ili sa više simbolične tačke gledišta, funkcija +: X × XX.

DefinicijaUredi

n-ska operacija ω iz X1, …, Xn do Y je funkcija ω: X1 × … × XnY. Skup X1 × … × Xn se zove domena operacije, skup Y se naziva kodomen operacije, a fiksni nenegativni cijeli broj n (broj operanada) naziva searitnost operacije. Tako unarna operacija ima arititet jedan, a binarna operacija ima arititet dva. Operacija ariteta nula, nazvana nularna operacija, jednostavno je element kodomene Y. n-arna operacija se također može posmatrati kao (n + 1)-arni relation koja je ukupno na svojim n ulaznim domenima i jedinstveni na njegovoj izlaznoj domeni.

n-ska djelimična operacija ω iz X1, …, Xn do Y je djelimična funkcija ω: X1 × … × XnY. Parcijalna n-ska operacija se također može posmatrati kao (n + 1)-arna relacija koja je jedinstvena na svom izlaznom domenu.

Gore navedeno opisuje ono što se obično naziva finitarna operacija, a odnosi se na konačan broj operanada (vrijednost n). Postoje očigledne ekstenzije u kojima se aritnost uzima kao beskonačan redni ili kardinal,[1] ili čak proizvoljan skup koji indeksira operande.

Često, upotreba termina operacija implicira da domen funkcije uključuje moć kodomena (tj. Kartezijanski proizvod jedne ili više kopija kodomena),[16] iako ovo nikako nije univerzalno, kao u slučaju tačkastog proizvoda, gdje se vektori množe i rezultiraju skalarom. n-ska operacija ω: XnX naziva se interna operacija. n-ska operacija ω: Xi × S × Xni − 1 → X gdje 0 ≤ i < n naziva se eksterna operacija pomoću skalarnog skupa ili skupa operatora S. Posebnoast za binarnu operaciju ω: S × XX se naziva levo-vanjska operacija od strane S, i ω: X × SX je naziv desno-vanjska operacija od strane S. Primjer interne operacije je vektorsko dodavanje, gdje se dva vektora dodaju i rezultiraju vektorom. Primjer eksterne operacije je skalarno množenje, gdje se vektor množi sa skalarom i rezultira vektorom.

n-ski multifunkcionalni ili multioperacijski ω je preslikavanje iz kartezijanske potencije skupa u skup podskupova taj skup, formalno ω: XnP(X).[17]

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. ^ a b c d "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Pristupljeno 10. 12. 2019.
  2. ^ DeMeo, William (26. 8. 2010). "Universal Algebra Notes" (PDF). math.hawaii.edu. Pristupljeno 9. 12. 2019.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Unary Operation". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Binary Operation". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020. Vectors can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Union". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Intersection". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Complementation". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Convolution". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  12. ^ Weisstein, Eric W. "Domain". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 8. 8. 2020.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Scalar Multiplication". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  14. ^ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. (1995). Functional Analysis (jezik: engleski). New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 7. 2020.
  16. ^ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). "Chapter II, Definition 1.1". A Course in Universal Algebra. Springer.
  17. ^ Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. (Jan 1993). "Power algebras: clones and relations" (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). 29: 293–302. Pristupljeno 25. 10. 2022.