Euklidski vektor

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Definicija

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.^[1]

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka $A$ i $B$ iz $R^{n}$ . Tada je:

${\overrightarrow {AB}}=\left(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2},\dots ,B_{n}-A_{n}\right),a{\overrightarrow {BA}}=\left(A_{1}-B_{1},A_{2}-B_{2},\dots ,A_{n}-B_{n}\right)$

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

${\overrightarrow {AB}}=A+||AB||\cdot {\frac {\overrightarrow {AB}}{||{\overrightarrow {AB}}||}}$

Ako $||AB||$ zamjenimo sa $\lambda$ koje može biti bilo koji broj iz $\mathbb {R}$ definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku $A$ a za vektor pravca ima vektor $AB$ . Ako je $\lambda$ samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački $A$ .

Ako je $||AB||\neq \lambda$ rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor $AB'$ ovo znači da važi:

${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AB'}}={\overrightarrow {0}}$

Označavanje

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju ${\vec {a}}$ . Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr ${\underset {^{\sim }}{a}}$ . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ${\overrightarrow {AB}}$ ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer

vektor od koordinantnog početka $O=(0,0)$ do tačke $A=(2,3)$ je $a(2,3)$

U trodimenzionalnom prostoru $R^{3}$ vektor se označava sa

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ili $\mathbf {a} =(a_{\text{x}},a_{\text{y}},a_{\text{z}})$ .

U n-dimensionalnom $R^{n}$ prostoru

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n})$ Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]$ . Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

${\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)$ .

odnosno

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\$

ili

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$ .

Dekartove koordinate

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke $A=(1,0,0)$ i $B=(0,1,0)$ u prostoru određuju vektor $\ overrightarrow{AB}(1,1,0)$

Nula-vektor

Nula-vektor $a_{0}$ je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.^[2]

${\overrightarrow {a_{0}}}={\overrightarrow {0}},\;|{\overrightarrow {a_{0}}}|=0$

${\overrightarrow {AA}}={\overrightarrow {BB}}={\overrightarrow {0}}$

Jedinični vektor

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor $a$ može se odrediti odgovarajući jedinični vektor $v$ istog pravca i smjera.

${\overrightarrow {v}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\;{\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}$

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor $(1,0,0)$ je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku $O(0,0,0)$ .

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}|a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}$

Jednakost vektora

Dva vektora

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

i

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

su jednaka ako važi

$a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}$

Kolinearni i komplanarni vektori

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni ^[3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.^[4],

Projekcija vektora

Ortogonalna projekcija u ravni na pravu $p$ je funkcija koja svakoj tački

$A$ ravni pridružuje tačku u kojoj normala na $p$ , koja prolazi tačkom $A$ , siječe prava $p$ .

Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu $p$ je funkcija koja svakoj tački

$A$ prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom $A$ ,a okomita je na $p$ , siječe pravu $p$ .[1]

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

${\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

i

${\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}$

su suprotna ako važi

$a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}$

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

$a=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ , $a_{i}\in K$ , $i=1,...,n$

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva $K^{n}$ , a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer $a_{1}$ je prva koordinata vektora, $a_{2}$ je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.^[5]

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}$
$|a|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}$

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora ${\overrightarrow {a}}\in K^{n}$ nekim skalarom $\alpha \in K$ je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

$\alpha \cdot {\overrightarrow {a}}$ = $\alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ = $(\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},...,\alpha \cdot a_{n}).$

Sabiranje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora $a,b\in K^{n}\,$ :

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},...,a_{n})$
${\overrightarrow {b}}=(b_{1},...,b_{n})$

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

$+:(K^{n},K^{n})\rightarrow K^{n}\,$
${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}$ ,
$c_{i}=a_{i}+b_{i}\,$ , gde je $i=1,...,n\,$

Pri čemu će vektor c biti iz prostora $K^{n}\,$ . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+(-{\overrightarrow {b}})$

Pri čemu $-{\overrightarrow {b}}=(-b_{1},-b_{2},...,-b_{n})$ .

Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz $K^{n}$ u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz $K^{n}$ bi proizvod k izgledao ovako:

$\cdot :(K^{n},K^{n})\rightarrow K$
$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}$ , $k\in K$
$k=\sum _{k=1}^{n}{a_{i}\cdot b_{i}}$ , gde je $i=1,...,n$

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|a|\cdot |b|\cdot \cos \omega$ ,

pri čemu je $\omega$ ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore ( $E^{3}\,$ ) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3}$
${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=$ ${\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$ ${\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Jer su ${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$ , ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i ${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze $E^{3}\,$ .

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}\bot {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}$ , tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
$|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|a||b|\sin \omega$ , gde je $\omega$ ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})$ , tj. vektorski proizvod nije komutativan.
$(\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}=\alpha ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})$ , gde je $\alpha \in E$ . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvod

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz $E^{3}$ preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa $[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]$ . A po definiciji je:

$[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})\cdot {\overrightarrow {c}}=$ ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}},$ ${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\in E^{3}$

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda: